« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Ví dụ 5: Xác định a ; b để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+ay=b+4\ax+by=8+9a\end{array} ight.$ có nghiệm là $x=3;y=-1$,Ví dụ 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=4\nx+y=-3\end{array} ight.$,a) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm : $(x;y)=(-2;3)$,b) Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Ví dụ 5: Xác định a ; b để hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+ay=b+4\ax+by=8+9a\end{array}ight.$ có nghiệm là $x=3;y=-1$,Ví dụ 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=4\nx+y=-3\end{array}ight.$,a) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm : $(x;y)=(-2;3)$,b) Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm.

dinhthuy12 · Accepted Answer

Ví dụ 5: Xác định a, b để hệ phương trình có nghiệm $x=3; y=-1$

Vì hệ phương trình có nghiệm là $(x; y) = (3; -1)$ nên ta thay trực tiếp các giá trị này vào hệ phương trình ban đầu. Ta được:

$\begin{cases} 2 \cdot 3 + a \cdot (-1) = b + 4 \ a \cdot 3 + b \cdot (-1) = 8 + 9a \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 6 - a = b + 4 \ 3a - b = 8 + 9a \end{cases}$

Chuyển các biến $a, b$ sang vế trái và giữ hằng số ở vế phải để đưa về dạng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn tiêu chuẩn:

$\Leftrightarrow \begin{cases} -a - b = 4 - 6 \ 3a - 9a - b = 8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -a - b = -2 \quad (1) \ -6a - b = 8 \quad (2) \end{cases}$

Trừ vế theo vế của phương trình (1) cho phương trình (2) để triệt tiêu ẩn $b$:

$(-a - b) - (-6a - b) = -2 - 8$

$\Leftrightarrow 5a = -10 \Leftrightarrow a = -2$

Thay giá trị $a = -2$ vào phương trình (1):

$-(-2) - b = -2 \Leftrightarrow 2 - b = -2 \Leftrightarrow b = 4$

Kết luận: Vậy với $a = -2$ và $b = 4$ thì hệ phương trình đã cho có nghiệm $(3; -1)$.

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=4\nx+y=-3\end{array} ight.$

a) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (-2; 3)$

Thay $x = -2$ và $y = 3$ vào hệ phương trình ta được:

$\begin{cases} -2 + m \cdot 3 = 4 \ n \cdot (-2) + 3 = -3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3m = 4 + 2 \ -2n = -3 - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3m = 6 \ -2n = -6 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = 2 \ n = 3 \end{cases}$

Kết luận: Vậy với $m = 2$ và $n = 3$ thì hệ phương trình có nghiệm $(-2; 3)$.

b) Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm

Xét hệ phương trình dạng tổng quát:

$\begin{cases} Ax + By = C \ A'x + B'y = C' \end{cases}$

(với các hệ số $A', B', C' eq 0$)

Về mặt hình học, mỗi phương trình trong hệ đại diện cho một đường thẳng. Hệ phương trình sẽ có vô số nghiệm khi hai đường thẳng này trùng nhau hoàn toàn, tương ứng với điều kiện các hệ số tỉ lệ với nhau:

$\frac{A}{A'} = \frac{B}{B'} = \frac{C}{C'}$

Áp dụng vào hệ phương trình $\begin{cases} 1x + my = 4 \ nx + 1y = -3 \end{cases}$, điều kiện để hệ có vô số nghiệm là:

$\frac{1}{n} = \frac{m}{1} = \frac{4}{-3}$

Từ dãy tỉ số trên, ta tách ra để tìm riêng từng biến:

Tìm $n$:

$\frac{1}{n} = \frac{4}{-3} \Rightarrow n = \frac{1 \cdot (-3)}{4} = -\frac{3}{4}$

Tìm $m$:

$\frac{m}{1} = \frac{4}{-3} \Rightarrow m = -\frac{4}{3}$

Kết luận: Vậy với $m = -\frac{4}{3}$ và $n = -\frac{3}{4}$ thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán, chúng ta sẽ xử lý từng ví dụ một.

### Ví dụ 5:
Chúng ta có hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
2x + ay = b + 4 \
ax + by = 8 + 9a
\end{cases}
$$

và nghiệm là $ x = 3 $ và $ y = -1 $.

**Bước 1:** Thay $ x = 3 $ và $ y = -1 $ vào phương trình đầu tiên.

$$
2(3) + a(-1) = b + 4
$$
$$
6 - a = b + 4
$$
Suy ra:
$$
b = 2 - a \quad (1)
$$

**Bước 2:** Thay $ x = 3 $ và $ y = -1 $ vào phương trình thứ hai.

$$
a(3) + b(-1) = 8 + 9a
$$
$$
3a - b = 8 + 9a
$$
Suy ra:
$$
-b = 8 + 6a \quad (2)
$$

**Bước 3:** Thay giá trị của $ b $ từ (1) vào (2):

$$
-(2 - a) = 8 + 6a
$$
$$
-a + 2 = 8 + 6a
$$
$$
2 - 8 = 7a
$$
$$
-6 = 7a
$$
$$
a = -\frac{6}{7}
$$

**Bước 4:** Tìm $ b $:

Thay $ a $ vào (1):
$$
b = 2 - \left(-\frac{6}{7}\right) = 2 + \frac{6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = \frac{20}{7}
$$

Vậy kết quả là:
$$
a = -\frac{6}{7}, \quad b = \frac{20}{7}
$$

### Ví dụ 6:
Chúng ta có hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
x + my = 4 \
nx + y = -3
\end{cases}
$$

#### a) Tìm $ m $, $ n $ để hệ phương trình có nghiệm $ (x, y) = (-2, 3) $.

**Bước 1:** Thay $ x = -2 $ và $ y = 3 $ vào phương trình đầu tiên.

$$
-2 + m(3) = 4
$$
$$
3m = 6 \implies m = 2
$$

**Bước 2:** Thay $ x = -2 $ và $ y = 3 $ vào phương trình thứ hai.

$$
n(-2) + 3 = -3
$$
$$
-2n + 3 = -3
$$
$$
-2n = -6 \implies n = 3
$$

Vậy kết quả là:
$$
m = 2, \quad n = 3
$$

#### b) Tìm $ m $, $ n $ để hệ phương trình có vô số nghiệm.

Để hệ phương trình có vô số nghiệm, hai phương trình phải tỷ lệ với nhau.

**Bước 1:** Từ phương trình thứ nhất $ x + my = 4 $, chúng ta có thể viết lại như sau:

$$
y = -\frac{1}{m}x + \frac{4}{m}
$$

**Bước 2:** Từ phương trình thứ hai $ nx + y = -3 $, viết lại thành:

$$
y = -nx - 3
$$

**Bước 3:** Hai phương trình phải cùng có hệ số tỷ lệ:

$$
-\frac{1}{m} = -n \quad \text{và} \quad \frac{4}{m} = -3n
$$

Từ phương trình đầu tiên:

$$
n = \frac{1}{m}
$$

Thay vào phương trình thứ hai:

$$
\frac{4}{m} = -3\left(\frac{1}{m}\right)
$$
$$
4 = -3 \quad (Điều này không đúng)
$$

Vậy ta cần điều kiện mới để có vô số nghiệm:
$$
m \neq 0 \quad \text{và} \quad n = \frac{1}{m}
$$

Chúng ta có thể chọn bất kỳ giá trị nào cho $ m $ (khác 0), từ đó tính được $ n $.

Ví dụ, nếu $ m = 1 $, thì $ n = 1 $.

Kết quả:
$$
m \neq 0, \quad n = \frac{1}{m}
$$

ft. Hoàng · Answer

Ví dụ $$\bbox{5}$$

Thay $x = 3$ và $y = -1$ vào hệ phương trình, ta được:

$\begin{cases} 2 \cdot 3 + a \cdot (-1) = b + 4 \ a \cdot 3 + b \cdot (-1) = 8 + 9a \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 6 - a = b + 4 \ 3a - b = 8 + 9a \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -a - b = 4 - 6 \ 3a - 9a - b = 8 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} -a - b = -2 \ -6a - b = 8 \end{cases}$

Trừ vế theo vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai, ta được:

$(-a - b) - (-6a - b) = -2 - 8$

$\Leftrightarrow 5a = -10$

$\Leftrightarrow a = -2$

Thay $a = -2$ vào phương trình $-a - b = -2$, ta được:

$-(-2) - b = -2$

$\Leftrightarrow 2 - b = -2$

$\Leftrightarrow b = 4$

Vậy $a = -2$ và $b = 4$ là các giá trị cần tìm.

Ví dụ $\bbox{6}$

a) Thay $x = -2$ và $y = 3$ vào hệ phương trình, ta được:

$\begin{cases} -2 + m \cdot 3 = 4 \ n \cdot (-2) + 3 = -3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3m = 4 + 2 \ -2n = -3 - 3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} 3m = 6 \ -2n = -6 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m = 2 \ n = 3 \end{cases}$

Vậy $m = 2$ và $n = 3$ là các giá trị cần tìm.

b) Từ phương trình đầu tiên $x + my = 4 \Rightarrow x = 4 - my$.

Thay vào phương trình thứ hai, ta được:

$n(4 - my) + y = -3$

$\Leftrightarrow 4n - mny + y = -3$

$\Leftrightarrow (1 - mn)y = -3 - 4n$

Để hệ phương trình ban đầu có vô số nghiệm thì phương trình theo biến $y$ ở trên phải có vô số nghiệm. Điều này xảy ra khi và chỉ khi:

$\begin{cases} 1 - mn = 0 \ -3 - 4n = 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} mn = 1 \ 4n = -3 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} n = -\dfrac{3}{4} \ m \cdot \left(-\dfrac{3}{4} ight) = 1 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases} m = -\dfrac{4}{3} \ n = -\dfrac{3}{4} \end{cases}$

Vậy $m = -\dfrac{4}{3}$ và $n = -\dfrac{3}{4}$ là các giá trị cần tìm.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$

Ví dụ 5: Xác định a, b để hệ phương trình có nghiệm $x=3; y=-1$

Ví dụ 6: Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+my=4\\nx+y=-3\end{array}\right.$

a) Tìm m, n để hệ phương trình có nghiệm $(x; y) = (-2; 3)$

b) Tìm m, n để hệ phương trình có vô số nghiệm