« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Nau III. (4,0 điểm),1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình: $x^3+y^3=3xy+1$

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

Ta có: $x^3 + y^3 = 3xy + 1$

$\Leftrightarrow x^3 + y^3 - 1 - 3xy = 0$

$\Leftrightarrow x^3 + y^3 + (-1)^3 - 3 \cdot x \cdot y \cdot (-1) = 0$

Áp dụng hằng đẳng thức bổ sung: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ với $a = x$, $b = y$, $c = -1$, phương trình tương đương với:

$\Leftrightarrow (x + y - 1)[x^2 + y^2 + (-1)^2 - xy - y(-1) - (-1)x] = 0$

$\Leftrightarrow (x + y - 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x) = 0$

$\Leftrightarrow (x + y - 1)(x^2 - xy + y^2 + x + y + 1) = 0$

Vì $x, y$ là các số tự nhiên nên $x \ge 0, y \ge 0$.

Xét biểu thức: $x^2 - xy + y^2 + x + y + 1$

$= \dfrac{1}{2}(2x^2 - 2xy + 2y^2 + 2x + 2y + 2)$

$= \dfrac{1}{2}[(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1)]$

$= \dfrac{1}{2}[(x - y)^2 + (x + 1)^2 + (y + 1)^2]$

Vì $x \ge 0 \Rightarrow x + 1 \ge 1 \Rightarrow (x + 1)^2 \ge 1$

Vì $y \ge 0 \Rightarrow y + 1 \ge 1 \Rightarrow (y + 1)^2 \ge 1$

Đồng thời $(x - y)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$.

Suy ra: $(x - y)^2 + (x + 1)^2 + (y + 1)^2 \ge 0 + 1 + 1 = 2$

Do đó: $x^2 - xy + y^2 + x + y + 1 \ge \dfrac{1}{2} \cdot 2 = 1 > 0$

Vì $x^2 - xy + y^2 + x + y + 1 > 0$ nên phương trình tương đương với:

$x + y - 1 = 0$

$\Leftrightarrow x + y = 1$

Do $x, y$ là các số tự nhiên nên ta xét các trường hợp:

Trường hợp 1: $x = 0 \Rightarrow y = 1$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2: $x = 1 \Rightarrow y = 0$ (thỏa mãn)

Vậy các cặp số tự nhiên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình là $(0;1)$ và $(1;0)$.

Timi · Answer

Để giải phương trình $ x^3 + y^3 = 3xy + 1 $, chúng ta có thể sử dụng một số tính chất và phép biến đổi.

Phương trình có thể được viết lại theo dạng:

$$
x^3 + y^3 - 3xy - 1 = 0
$$

Ta biết rằng $ x^3 + y^3 $ có thể viết lại theo công thức:

$$
x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)
$$

Vậy ta sẽ biến đổi phương trình trên:

$$
(x+y)(x^2 - xy + y^2) - 3xy - 1 = 0
$$

Tuy nhiên, để tìm kiếm các cặp số tự nhiên $ (x, y) $, ta thử giải quyết bằng cách thử nghiệm các giá trị nhỏ của $ x $ và $ y $.

### Bước 1: Thử các giá trị của $ x $ và $ y $

1. Nếu $ x = 0 $:
   $$
   0^3 + y^3 = 3 \cdot 0 \cdot y + 1 \implies y^3 = 1 \implies y = 1
   $$
   Vậy có cặp $ (0, 1) $.

2. Nếu $ x = 1 $:
   $$
   1^3 + y^3 = 3 \cdot 1 \cdot y + 1 \implies 1 + y^3 = 3y + 1 \implies y^3 = 3y
   $$
   Ta có:
   $$
   y(y^2 - 3) = 0 \implies y = 0 \quad \text{hoặc} \quad y^2 = 3 \implies y = \sqrt{3} \text{ (không phải là số tự nhiên)}
   $$
   Vậy có cặp $ (1, 0) $.

3. Nếu $ x = 2 $:
   $$
   2^3 + y^3 = 3 \cdot 2 \cdot y + 1 \implies 8 + y^3 = 6y + 1 \implies y^3 - 6y + 7 = 0
   $$
   Phương trình này không có nghiệm tự nhiên (thử các giá trị $ y = 0, 1, 2, 3, \ldots $).

4. Nếu $ x = 3 $:
   $$
   3^3 + y^3 = 3 \cdot 3 \cdot y + 1 \implies 27 + y^3 = 9y + 1 \implies y^3 - 9y + 26 = 0
   $$
   Cũng không tìm thấy nghiệm tự nhiên.

Tiếp tục thử các giá trị khác cho đến khi tìm được các cặp số tự nhiên.

### Bước 2: Tổng hợp nghiệm

Sau khi thử nghiệm, ta nhận được các cặp:

- $ (0, 1) $
- $ (1, 0) $

Tóm lại, các cặp số tự nhiên $ (x, y) $ thỏa mãn phương trình $ x^3 + y^3 = 3xy + 1 $ là:

$$
\boxed{(0, 1) \text{ và } (1, 0)}
$$

nhathanh · Answer

Ta có phương trình:

$x^3 + y^3 = 3xy + 1$

$x^3 + y^3 - 3xy - 1 = 0$

$(x^3 + y^3 - 1^3) - 3xy \cdot 1 = 0$

Sử dụng hằng đẳng thức mở rộng: $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$

Với $a = x$, $b = y$, $c = -1$, phương trình biến đổi thành:

$(x + y - 1)[x^2 + y^2 + (-1)^2 - xy - y(-1) - (-1)x] = 0$

$(x + y - 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x) = 0$

Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: $x + y - 1 = 0$

$x + y = 1$

Vì $x, y$ là các số tự nhiên nên ta có các cặp nghiệm:

$(x; y) = (1; 0)$ hoặc $(x; y) = (0; 1)$

Trường hợp 2: $x^2 + y^2 + 1 - xy + y + x = 0$

Nhân cả hai vế với 2, ta được:

$2x^2 + 2y^2 + 2 - 2xy + 2y + 2x = 0$

$(x^2 - 2xy + y^2) + (x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 0$

$(x - y)^2 + (x + 1)^2 + (y + 1)^2 = 0$

Vì $(x - y)^2 \ge 0$, $(x + 1)^2 \ge 0$, $(y + 1)^2 \ge 0$ với mọi $x, y$ nên đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

$\begin{cases} x - y = 0 \ x + 1 = 0 \ y + 1 = 0 \end{cases}$

$\begin{cases} x = y \ x = -1 \ y = -1 \end{cases}$

Nghiệm $x = -1, y = -1$ không phải là số tự nhiên nên trường hợp này bị loại.

Vậy các cặp số tự nhiên $(x;y)$ thỏa mãn đề bài là:

$(1; 0), (0; 1)$

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$