Tìm hai nghiệm t của phương trình
(3+4t-2)^2+(8-3t-2)^2+(-7t+11)^2=25

Question

ft. Hoàng · Accepted Answer

Ta có: $(3 + 4t - 2)^2 + (8 - 3t - 2)^2 + (-7t + 11)^2 = 25$

$\Leftrightarrow (4t + 1)^2 + (6 - 3t)^2 + (-7t + 11)^2 = 25$

$\Leftrightarrow (16t^2 + 8t + 1) + (36 - 36t + 9t^2) + (49t^2 - 154t + 121) = 25$

$\Leftrightarrow (16t^2 + 9t^2 + 49t^2) + (8t - 36t - 154t) + (1 + 36 + 121) = 25$

$\Leftrightarrow 74t^2 - 182t + 158 = 25$

$\Leftrightarrow 74t^2 - 182t + 133 = 0$

Xét biệt thức $\Delta' = (-91)^2 - 74 \cdot 133 = 8281 - 9842 = -1561 < 0$

Do đó, phương trình có hai nghiệm phức là:

$t_1 = \dfrac{91 - \sqrt{1561}i}{74}$

$t_2 = \dfrac{91 + \sqrt{1561}i}{74}$

Timi · Answer

Để giải phương trình $ (3+4t-2)^2 + (8-3t-2)^2 + (-7t+11)^2 = 25 $, trước tiên ta đơn giản hóa các biểu thức bên trong các dấu ngoặc.

Bắt đầu với các biểu thức:

1. $ 3 + 4t - 2 = 4t + 1 $
2. $ 8 - 3t - 2 = -3t + 6 $
3. $ -7t + 11 = -7t + 11 $

Vậy phương trình trở thành:

$$
(4t + 1)^2 + (-3t + 6)^2 + (-7t + 11)^2 = 25
$$

Bây giờ ta tính từng phần:

1. $ (4t + 1)^2 = 16t^2 + 8t + 1 $
2. $ (-3t + 6)^2 = 9t^2 - 36t + 36 $
3. $ (-7t + 11)^2 = 49t^2 - 154t + 121 $

Cộng các biểu thức lại:

$$
16t^2 + 8t + 1 + 9t^2 - 36t + 36 + 49t^2 - 154t + 121 = 25
$$

Tính toán các hệ số:

$$
(16t^2 + 9t^2 + 49t^2) + (8t - 36t - 154t) + (1 + 36 + 121) = 25
$$
$$
74t^2 - 182t + 158 = 25
$$

Chuyển số 25 sang bên trái:

$$
74t^2 - 182t + 158 - 25 = 0
$$
$$
74t^2 - 182t + 133 = 0
$$

Bây giờ ta sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

$$
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$

Với $ a = 74 $, $ b = -182 $, và $ c = 133 $:

Tính $\Delta$:

$$
\Delta = b^2 - 4ac = (-182)^2 - 4 \cdot 74 \cdot 133
$$
$$
\Delta = 33124 - 39496 = -6372
$$

Vì $\Delta < 0$, phương trình không có nghiệm thực.

Do đó, không có hai nghiệm thực cho phương trình đã cho.

NAKSU · Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

Xét phương trình trên ta có:

$$\left(3+4t-2\right)^2+\left(8-3t-2\right)^2+\left(-7t+11\right)^2=25$$

⇔ $$\left(4t+1\right)^2+\left(-3t+6\right)^2+\left(-7t+11\right)^2=25$$

⇔ $$16t^2+8t+1+9t^2-36t+36+49t^2-154x+121=25$$

⇔ $$\left(16t^2+9t^2+49t^2\right)+\left(8t-36t-154t\right)+\left(1+36+121\right)=25$$

⇔ $$74t^2-182t+158=25$$

⇔ $$74t^2-182t+133=0$$

*Tính $$\Delta$$ ta thấy :

$$\Delta=\left(-182\right)^2-4.74.133=33124-39368=-6244.$$

*Do $$\Delta<0$$ ⇒ phương trình vô nghiệm.

phamthiphiyen · Answer

$(3+4t-2)^2 + (8-3t-2)^2 + (-7t+11)^2 = 25$

Trước hết, chúng ta sẽ thu gọn các biểu thức bên trong dấu ngoặc:

$3 + 4t - 2 = 4t + 1$

$8 - 3t - 2 = -3t + 6$

Thay vào phương trình, ta được:

$(4t + 1)^2 + (-3t + 6)^2 + (-7t + 11)^2 = 25$

Bước 1: Khai triển các hằng đẳng thức

Áp dụng công thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ta khai triển từng cụm:

$(4t + 1)^2 = 16t^2 + 8t + 1$

$(-3t + 6)^2 = 9t^2 - 36t + 36$

$(-7t + 11)^2 = 49t^2 - 154t + 121$

Bước 2: Thu gọn phương trình

Cộng các hạng tử cùng loại ở vế trái:

Hạng tử bậc hai ($t^2$): $16t^2 + 9t^2 + 49t^2 = 74t^2$

Hạng tử bậc nhất ($t$): $8t - 36t - 154t = -182t$

Hạng tử tự do: $1 + 36 + 121 = 158$

Phương trình trở thành:

$74t^2 - 182t + 158 = 25$

Chuyển $25$ từ vế phải sang vế trái:

$74t^2 - 182t + 158 - 25 = 0$

$\Leftrightarrow 74t^2 - 182t + 133 = 0$

Bước 3: Giải phương trình bậc hai

Ta sử dụng công thức nghiệm thu gọn với $a = 74$, $b' = -91$, $c = 133$:

$\Delta' = (b')^2 - ac = (-91)^2 - 74 \cdot 133$

$\Delta' = 8281 - 9842 = -1561$

Vì $\Delta' = -1561 < 0$, phương trình này không có nghiệm thực.

Tuy nhiên, trong trường hợp bạn đang giải bài toán này trên tập số phức ($\mathbb{C}$), phương trình sẽ có hai nghiệm phức liên hợp:

$t = \frac{-b' \pm i\sqrt{|\Delta'|}}{a} = \frac{91 \pm i\sqrt{1561}}{74}$

Tách rõ hai nghiệm $t$:

$t_1 = \frac{91}{74} + \frac{\sqrt{1561}}{74}i$

$t_2 = \frac{91}{74} - \frac{\sqrt{1561}}{74}i$

Tìm hai nghiệm t của phương trình (3+4t-2)^2+(8-3t-2)^2+(-7t+11)^2=25

Bước 1: Khai triển các hằng đẳng thức

Bước 2: Thu gọn phương trình

Bước 3: Giải phương trình bậc hai