Đề chuẩn bị cho ngày hội STEM, câu lạc bộ Robotics của một trường THPT thiết kế hai loại mô hình lắp ráp từ các linh kiện có sẵn để bán lưu niệm gồm: mô hình Xe tự hành và mô hình Cánh tay rô-bốt. Câu lạc bộ đóng gói linh kiện theo hai bộ công cụ (kit) để người mua tự trải nghiệm. Bộ kit 1 có giá bán 40 nghìn đồng, gồm hai mạch điều khiển và một động cơ servo. Bộ kit 2 có giá bán 70 nghìn đồng, gồm ba mạch điều khiển và hai động cơ servo. Biết rằng câu lạc bộ hiện chỉ có tối đa 190 mạch điều khiển và 110 động cơ servo. Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể thu được sau khi bán hết các bộ kit là bao nhiêu nghìn đồng?

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

1. Thiết lập các biến số

Gọi $x$ là số lượng bộ kit 1 và $y$ là số lượng bộ kit 2 ($x, y \ge 0$, $x, y \in \mathbb{N}$).

2. Các điều kiện ràng buộc

Dựa vào số lượng linh kiện có sẵn, ta có hệ bất phương trình:

• Mạch điều khiển: $2x + 3y \le 190$

• Động cơ servo: $x + 2y \le 110$

3. Hàm mục tiêu

Số tiền thu được (đơn vị: nghìn đồng) là:

$F(x,y)=40x+70y$

4. Giải hệ bất phương trình để tìm các đỉnh của miền nghiệm

Miền nghiệm là một đa giác với các đỉnh:

1. Gốc tọa độ: $O(0, 0)$

2. Giao điểm với trục Oy: Cho $x = 0$ vào $x + 2y = 110 \Rightarrow y = 55$. Điểm $A(0, 55)$.

3. Giao điểm với trục Ox: Cho $y = 0$ vào $2x + 3y = 190 \Rightarrow x = 95$. Điểm $B(95, 0)$.

4. Giao điểm của hai đường thẳng: Giải hệ:

$\begin{cases} 2x + 3y = 190 \ x + 2y = 110 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x + 3y = 190 \ 2x + 4y = 220 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} y = 30 \ x = 50 \end{cases}$

Ta có điểm $C(50, 30)$.

5. Tính giá trị $F(x, y)$ tại các đỉnh

• $F(0, 0) = 0$

• $F(0, 55) = 40(0) + 70(55) = 3.850$

• $F(95, 0) = 40(95) + 70(0) = 3.800$

• $F(50, 30) = 40(50) + 70(30) = 2.000 + 2.100 = 4.100$

________________________________________

Kết luận:

Số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể thu được là 4.100 nghìn đồng (tức là 4.100.000 VNĐ) khi bán 50 bộ kit 1 và 30 bộ kit 2.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta cần xác định số lượng bộ kit 1 và bộ kit 2 mà câu lạc bộ có thể bán để tối đa hóa doanh thu.

Gọi:
- $ x $ là số lượng bộ kit 1 bán ra.
- $ y $ là số lượng bộ kit 2 bán ra.

Ta có:
- Doanh thu $ R = 40x + 70y $ (đơn vị: nghìn đồng)
- Giới hạn về mạch điều khiển: $ 2x + 3y \leq 190 $
- Giới hạn về động cơ servo: $ x + 2y \leq 110 $
- $ x \geq 0 $ và $ y \geq 0 $

Bước 1: Vẽ các bất đẳng thức lên mặt phẳng tọa độ $ xy $.

1. Từ bất đẳng thức $ 2x + 3y \leq 190 $:
   - Khi $ y = 0 $: $ 2x = 190 $ ⇒ $ x = 95 $ (điểm A)
   - Khi $ x = 0 $: $ 3y = 190 $ ⇒ $ y \approx 63.33 $ (điểm B)

2. Từ bất đẳng thức $ x + 2y \leq 110 $:
   - Khi $ y = 0 $: $ x = 110 $ (điểm C)
   - Khi $ x = 0 $: $ 2y = 110 $ ⇒ $ y = 55 $ (điểm D)

Bước 2: Xác định các điểm giao nhau của các đường thẳng.

Giải hệ phương trình:
$$
\begin{cases}
2x + 3y = 190 \
x + 2y = 110
\end{cases}
$$
Từ phương trình thứ hai: $ x = 110 - 2y $.
Thay vào phương trình đầu tiên:
$$
2(110 - 2y) + 3y = 190 \
220 - 4y + 3y = 190 \
220 - y = 190 \
y = 30 \
x = 110 - 2(30) = 50
$$

Điểm giao nhau là $ (50, 30) $.

Bước 3: Xác định các điểm đỉnh của vùng khả thi:

Các điểm cần xem xét là:
- A $ (95, 0) $
- B $ (0, 63.33) $
- C $ (110, 0) $
- D $ (0, 55) $
- Giao điểm $ (50, 30) $

Bước 4: Tính doanh thu tại các điểm đỉnh này:

1. Tại $ (95, 0) $: 
   $ R = 40(95) + 70(0) = 3800 $ nghìn đồng.

2. Tại $ (0, 63.33) $: 
   $ R = 40(0) + 70(63.33) \approx 4443.1 $ nghìn đồng.

3. Tại $ (110, 0) $: 
   $ R = 40(110) + 70(0) = 4400 $ nghìn đồng.

4. Tại $ (0, 55) $: 
   $ R = 40(0) + 70(55) = 3850 $ nghìn đồng.

5. Tại $ (50, 30) $: 
   $ R = 40(50) + 70(30) = 2000 + 2100 = 4100 $ nghìn đồng.

Bước 5: Tìm giá trị lớn nhất:

So sánh các giá trị doanh thu:
- $ 3800 $
- $ 4443.1 $
- $ 4400 $
- $ 3850 $
- $ 4100 $

Giá trị lớn nhất là $ 4443.1 $ nghìn đồng.

Vậy, số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể thu được sau khi bán hết các bộ kit là khoảng **4443.1** nghìn đồng.

ft. Hoàng · Answer

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số bộ kit 1 và bộ kit 2 mà câu lạc bộ đóng gói và bán được (điều kiện $x \ge 0, y \ge 0$).

Số tiền câu lạc bộ thu được sau khi bán hết các bộ kit là: $F(x; y) = 40x + 70y$ (nghìn đồng).

Từ bảng số liệu trên, ta lập được hệ bất phương trình biểu diễn các điều kiện ràng buộc của bài toán:

$\begin{cases} 2x + 3y \le 190 \ x + 2y \le 110 \ x \ge 0 \ y \ge 0 \end{cases}$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$:

Đường thẳng $d_1: 2x + 3y = 190$ cắt trục $Oy$ tại $\left(0; \dfrac{190}{3} ight)$ và cắt trục $Ox$ tại $(95; 0)$.

Đường thẳng $d_2: x + 2y = 110$ cắt trục $Oy$ tại $(0; 55)$ và cắt trục $Ox$ tại $(110; 0)$.

Giao điểm $M$ của hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\begin{cases} 2x + 3y = 190 \ x + 2y = 110 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x + 3y = 190 \ 2x + 4y = 220 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y = 30 \ x = 50 \end{cases} \Rightarrow M(50; 30)$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác $OAMB$ (kể cả các cạnh) với các đỉnh:

$O(0; 0)$

$A(95; 0)$

$M(50; 30)$

$B(0; 55)$

Giá trị của biểu thức $F(x; y) = 40x + 70y$ tại các đỉnh của tứ giác:

Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 40 \cdot 0 + 70 \cdot 0 = 0$

Tại $A(95; 0)$: $F(95; 0) = 40 \cdot 95 + 70 \cdot 0 = 3800$

Tại $M(50; 30)$: $F(50; 30) = 40 \cdot 50 + 70 \cdot 30 = 2000 + 2100 = 4100$

Tại $B(0; 55)$: $F(0; 55) = 40 \cdot 0 + 70 \cdot 55 = 3850$

So sánh các giá trị trên, ta thấy giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ đạt được tại đỉnh $M(50; 30)$ là $4100$.

Vậy số tiền lớn nhất mà câu lạc bộ có thể thu được sau khi bán hết các bộ kit là $4100$ nghìn đồng.

Joy · Answer

{"userId":5058292,"userName":"Progamingsang"}

Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số lượng bộ kit 1 và bộ kit 2 được đóng gói và bán ra ($x, y \in \mathbb{N}$).

Theo giả thiết, ta có hệ bất phương trình:

$-$Mạch điều khiển: $2x + 3y \le 190$

$-$Động cơ servo: $x + 2y \le 110$

$-$Điều kiện tự nhiên: $x \ge 0$, $y \ge 0$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền đa giác với các đỉnh: $O(0;0)$, $A(0;55)$, $B(50;30)$, $C(95;0)$.

Gọi $T$ (nghìn đồng) là số tiền thu được, hàm mục tiêu là:

$T = 40x + 70y$

Thay tọa độ các đỉnh vào hàm mục tiêu, ta có:

$-$Tại $O(0;0)$: $T = 40(0) + 70(0) = 0$

$-$Tại $A(0;55)$: $T = 40(0) + 70(55) = 3850$

$-$Tại $B(50;30)$: $T = 40(50) + 70(30) = 4100$

$-$Tại $C(95;0)$: $T = 40(95) + 70(0) = 3800$

So sánh các giá trị trên, $T$ đạt giá trị lớn nhất là $4100$ tại $x = 50$ và $y = 30$.

Vậy số tiền lớn nhất câu lạc bộ có thể thu được là 4.100 nghìn đồng.

QuynhTran · Answer

Đề chuẩn bị cho ngày hội STEM, câu lạc bộ Robotics của một trường THPT thiết kế hai loại mô hình lắp ráp từ các linh kiện có sẵn để bán lưu niệm gồm: mô hình Xe tự hành và mô hình Cánh tay rô-bốt. Câu...