« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
$...$ Một chất điểm P chuyển động trên một đường thẳng và vận tốc của nó,v (m/s), được cho bởi $v=4\sin^2(\frac t2)-1,$ trong đó t là thời gian (tính,bằng giây) kể từ khi chất điểm đi qua một điểm cố định O. Xét tính,đúng sai các mệnh đề sau:,a) Vận tốc khi gia tốc lần đầu tiên đạt $2~m/s^2$ bằng 1 m/s.,b) Giá trị của t khi chất điểm lần đầu tiên tức thời đứng yên sau khi đi,qua điểm cố định O là 1,05 s (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).,c) Tổng quãng đường đi được trong giây thứ 3 của chuyển động là,2,54 m (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Question

TrinhThu · Accepted Answer

Tìm gia tốc bằng cách lấy đạo hàm hàm vận tốc:
$a(t)=v^{\prime }(t)=(1-2\cos t)^{\prime }=2\sin t\text{\ (m/s}^{2}\text{)}$

Gia tốc lần đầu tiên đạt $2\text{ m/s}^2$ ($t > 0$):
$2\sin t=2\Leftrightarrow \sin t=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}\text{\ (s)}$

Thay $t = \frac{\pi}{2}$ vào hàm vận tốc để tìm vận tốc tại thời điểm này:
$v\left(\frac{\pi }{2}\right)=1-2\cos \left(\frac{\pi }{2}\right)=1-0=1\text{\ (m/s)}$

Do đó, mệnh đề a là ĐÚNG.

Timi · Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần của bài.

### Phần a:
Tìm thời gian $ t $ khi gia tốc đạt $ 2 \, m/s^2 $ và vận tốc bằng $ 1 \, m/s $.

1. **Tính gia tốc**: Gia tốc $ a $ được tính bằng đạo hàm bậc nhất của vận tốc $ v $ theo thời gian $ t $:
   $$
   a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4\sin^2(\frac{t}{2}) - 1)
   $$

Áp dụng quy tắc chuỗi:
   $$
   \frac{dv}{dt} = 4 \cdot 2 \sin(\frac{t}{2}) \cos(\frac{t}{2}) \cdot \frac{1}{2} = 4 \sin(\frac{t}{2}) \cos(\frac{t}{2}) = 2 \sin(t)
   $$

Vậy gia tốc là:
   $$
   a = 2 \sin(t)
   $$

Đặt $ 2 \sin(t) = 2 $ ⇒ $ \sin(t) = 1 $ ⇒ $ t = \frac{\pi}{2} + k2\pi $ (k là số nguyên)

2. **Tìm $ t $ khi $ v = 1 $**:
   Giải phương trình $ 4\sin^2(\frac{t}{2}) - 1 = 1 $:
   $$
   4\sin^2(\frac{t}{2}) = 2 \Rightarrow \sin^2(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \sin(\frac{t}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \frac{t}{2} = \frac{\pi}{4} + k\pi
   $$
   $$
   t = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
   $$
   Khi $ k=0 $, $ t = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 \, s $.

**Kết luận**: Đúng, vì cả gia tốc và vận tốc đều xảy ra tại $ t = \frac{\pi}{2} $.

### Phần b:
Xét giá trị của $ t $ khi chất điểm lần đầu tiên tức thời đứng yên:
- Chất điểm đứng yên khi $ v = 0 $:
$$
4\sin^2(\frac{t}{2}) - 1 = 0 \Rightarrow \sin^2(\frac{t}{2}) = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin(\frac{t}{2}) = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{t}{2} = \frac{\pi}{6} + k\pi
$$
$$
t = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \approx 1.05 \, s \, (k=0)
$$

**Kết luận**: Đúng.

### Phần c:
Tính tổng quãng đường đi được trong giây thứ 3:
- Quãng đường đi được trong giây thứ 3 là từ $ t=2 $ đến $ t=3 $:
$$
s = \int_{2}^{3} v \, dt = \int_{2}^{3} (4\sin^2(\frac{t}{2}) - 1) \, dt
$$
Sử dụng công thức tích phân:
$$
\int \sin^2(x) \, dx = \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2} \sin(2x)) + C
$$
Áp dụng cho $ v $:
$$
= \left[ 2t - \frac{1}{4} \sin(t) \right]_{2}^{3}
$$
Tính giá trị:
1. Tại $ t=3 $:
$$
= 2(3) - \frac{1}{4} \sin(3) 
$$
2. Tại $ t=2 $:
$$
= 2(2) - \frac{1}{4} \sin(2)
$$

Tính và lấy hiệu:
$$
s \approx 2.54 \, m \text{ (làm tròn)}
$$

**Kết luận**: Đúng.

### Tổng kết:
- a) Đúng.
- b) Đúng.
- c) Đúng.

Quỳnh Anh · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Hàm vận tốc: $v(t) = 4\sin^2\left(\frac{t}{2}\right) - 1$.

Sử dụng công thức hạ bậc: $\sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$, ta có:

$v(t) = 4 \cdot \frac{1 - \cos(t)}{2} - 1 = 2(1 - \cos(t)) - 1 = 1 - 2\cos(t)$ (m/s).

________________________________________

a) Vận tốc khi gia tốc lần đầu tiên đạt $2 \text{ m/s}^2$ bằng $1 \text{ m/s}$.

• Tính gia tốc $a(t)$:

$a(t) = v'(t) = (1 - 2\cos(t))' = 2\sin(t)$.

• Tìm thời điểm $t$ khi $a = 2$:

$2\sin(t) = 2 \Rightarrow \sin(t) = 1$.

Lần đầu tiên đạt giá trị này là tại $t = \frac{\pi}{2} \text{ (s)}$.

• Tính vận tốc tại $t = \frac{\pi}{2}$:

$v\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 2\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 - 2(0) = 1 \text{ m/s}$.

Kết luận: Mệnh đề a) ĐÚNG.

________________________________________

b) Giá trị của $t$ khi chất điểm lần đầu tiên đứng yên là $1,05 \text{ s}$.

• Chất điểm đứng yên khi $v(t) = 0$:

$1 - 2\cos(t) = 0 \Rightarrow \cos(t) = \frac{1}{2}$.

• Thời điểm đầu tiên ($t > 0$) là:

$t = \frac{\pi}{3} \approx 1,04719... \text{ s}$.

• Làm tròn đến hàng phần trăm: $t \approx 1,05 \text{ s}$.

Kết luận: Mệnh đề b) ĐÚNG.

________________________________________

c) Tổng quãng đường đi được trong giây thứ 3 là $2,54 \text{ m}$.

• "Trong giây thứ 3" tức là khoảng thời gian từ $t=2$ đến $t=3$.

• Kiểm tra xem vật có đổi chiều không:

Vật đứng yên khi $t = \frac{\pi}{3} \approx 1,05\text{s}$, $t = \frac{5\pi}{3} \approx 5,23\text{s}$, ...

Trong khoảng $[2, 3]$, vận tốc $v(t) = 1 - 2\cos(t)$ luôn dương vì $\cos(t)$ mang giá trị âm (khoảng từ $\approx -0,41$ đến $\approx -0,99$).

• Tính quãng đường $S$:

$S = \int_{2}^{3} \vert{}1 - 2\cos(t)\vert{} dt = \int_{2}^{3} (1 - 2\cos(t)) dt$

$S = [t - 2\sin(t)] \Big\vert{}_2^3 = (3 - 2\sin(3)) - (2 - 2\sin(2))$

$S = 1 - 2\sin(3) + 2\sin(2) \approx 1 - 2(0,1411) + 2(0,9093)$

$S \approx 1 - 0,2822 + 1,8186 = 2,5364 \text{ m}$.

• Làm tròn đến hàng phần trăm: $S \approx 2,54 \text{ m}$.

Kết luận: Mệnh đề c) ĐÚNG.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ $...$