« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Cho a; b; $b;c0$ thỏa $a+2b+3c\geq20$,$Q=\sqrt{a+\frac I{a^2}}+2\sqrt{b^2+\frac I{b^2}}+3\sqrt{c^2+\frac I{c^2}}$

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Cho a; b; $b;c>0$ thỏa $a+2b+3c\geq20$,$Q=\sqrt{a+\frac I{a^2}}+2\sqrt{b^2+\frac I{b^2}}+3\sqrt{c^2+\frac I{c^2}}$

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

bạn tham khảo nhé ><

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta cần phân tích điều kiện đã cho và biểu thức $ Q $.

**Điều kiện:**
$$ a + 2b + 3c \geq 20 $$

**Biểu thức:**
$$ Q = \sqrt{a + \frac{I}{a^2}} + 2\sqrt{b^2 + \frac{I}{b^2}} + 3\sqrt{c^2 + \frac{I}{c^2}} $$

Chúng ta có thể bắt đầu từ biểu thức của $ Q $.

Giả sử $ I $ là một hằng số mà chưa được xác định. Để tối thiểu hóa $ Q $, chúng ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz trong trường hợp này.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các thành phần trong $ Q $:

$$
\sqrt{a + \frac{I}{a^2}} \geq \sqrt{2\sqrt{a \cdot \frac{I}{a^2}}} = \sqrt{2\frac{I}{a}}
$$

Tương tự, chúng ta có:

$$
2\sqrt{b^2 + \frac{I}{b^2}} \geq 2\sqrt{2\sqrt{b^2 \cdot \frac{I}{b^2}}} = 2\sqrt{2\frac{I}{b}}
$$

Và cuối cùng:

$$
3\sqrt{c^2 + \frac{I}{c^2}} \geq 3\sqrt{2\sqrt{c^2 \cdot \frac{I}{c^2}}} = 3\sqrt{2\frac{I}{c}}
$$

Tổng hợp lại, ta có:

$$
Q \geq \sqrt{2I \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \right)}
$$

Để tối thiểu hóa $ Q $, chúng ta cần đảm bảo rằng:

$$
\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} \text{ đạt giá trị lớn nhất khi } a + 2b + 3c = 20.
$$

Sử dụng phương pháp Lagrange hoặc các phương pháp tối ưu hóa khác để tìm ra giá trị tối ưu cho $ a, b, c $ từ điều kiện $ a + 2b + 3c = 20 $.

Giả sử $ a = 2x, b = 2y, c = 2z $:

Khi đó điều kiện chuyển thành:

$$
x + y + z = 10
$$

Và cần tối thiểu hóa $ Q $.

Khi thực hiện phép tính cho giá trị cụ thể, và chọn $ a, b, c $ thỏa mãn điều kiện này, ta sẽ tìm ra được giá trị nhỏ nhất cho $ Q $.

Cuối cùng, ta cần xác định giá trị cụ thể của $ I $ và tiếp tục tính toán để cho ra kết quả cuối cùng.

Tuy nhiên, do không có đủ thông tin về $ I $ trong bài toán, chúng ta không thể cho ra một kết quả số cụ thể mà không biết giá trị của $ I $.

Tóm lại, giải pháp cần một số điều chỉnh với giá trị cụ thể của $ I $ và thực hiện các bước tính toán để tìm ra giá trị tối thiểu cho $ Q $.

Chi Min 卍 · Answer

toi stan đúng ng r · Answer

{"userId": 5433079, "userName": "Katiee ୨୧ "}Biến đổi biểu thức $Q$Sử dụng bất đẳng thức Minkowski: $\sqrt{x_1^2 + y_1^2} + \sqrt{x_2^2 + y_2^2} + \sqrt{x_3^2 + y_3^2} \geq \sqrt{(x_1+x_2+x_3)^2 + (y_1+y_2+y_3)^2}$.Ta viết lại $Q$ như sau:$Q=\sqrt{a^{2}+\frac{1}{a^{2}}}+\sqrt{(2b)^{2}+\frac{2^{2}}{b^{2}}}+\sqrt{(3c)^{2}+\frac{3^{2}}{c^{2}}}$$Q=\sqrt{a^{2}+\left(\frac{1}{a}\right)^{2}}+\sqrt{(2b)^{2}+\left(\frac{2}{b}\right)^{2}}+\sqrt{(3c)^{2}+\left(\frac{3}{c}\right)^{2}}$Áp dụng bất đẳng thức Minkowski:$Q\ge \sqrt{(a+2b+3c)^{2}+\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\right)^{2}}$2. Áp dụng bất đẳng thức CauchyĐặt $S = a + 2b + 3c \geq 20$.Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cụm còn lại:$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}=\frac{1^{2}}{a}+\frac{2^{2}}{2b}+\frac{3^{2}}{3c}\ge \frac{(1+2+3)^{2}}{a+2b+3c}=\frac{36}{S}$Khi đó:$Q\ge \sqrt{S^{2}+\left(\frac{36}{S}\right)^{2}}$3. Tìm giá trị nhỏ nhấtXét hàm số $f(S) = S^2 + \frac{1296}{S^2}$ với $S \geq 20$.Vì $S \geq 20$, ta tách để dùng AM-GM:$f(S)=\left(\frac{S^{2}}{1}+\frac{1296\cdot \frac{1}{20^{4}}}{1}S^{2}\dots \text{không\ kh\ thi}\right)$Thực tế, vì hàm $g(x) = x + \frac{k}{x}$ đồng biến khi $x > \sqrt{k}$, ta thấy $S^2 \geq 400$ và $\sqrt{1296} = 36$. Do $400 > 36$ nên hàm số đồng biến. Giá trị nhỏ nhất đạt được tại cực biên $S = 20$.Thay $S = 20$ vào biểu thức $Q$:$Q\ge \sqrt{20^{2}+\left(\frac{36}{20}\right)^{2}}=\sqrt{400+\left(\frac{9}{5}\right)^{2}}=\sqrt{400+\frac{81}{25}}=\sqrt{\frac{10081}{25}}=\frac{\sqrt{10081}}{5}$Kết luậnDấu "=" xảy ra khi:$a + 2b + 3c = 20$$\frac{1}{a} = \frac{2}{2b} = \frac{3}{3c} \Rightarrow a = b = c$Thay vào: $a + 2a + 3a = 20 \Rightarrow 6a = 20 \Rightarrow a = b = c = \frac{10}{3}$.Vậy $\min Q = \frac{\sqrt{10081}}{5}$.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$