« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
$...$ Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm.,Biết hàm cầu là,$Q_D=250-P$,và hàm tổng chi phí,$TC(Q)=Q^2+100Q+50.$,a) Tìm mức sản lượng và mức giá để lợi nhuận cực,đại,b) Hãy xác định mức thuế t trên một đơn vị sản,phẩm để có thể thu được nhiều thuế nhất từ xí,nghiêp

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$
Từ hàm cầu $Q = 250 - P$ ta có hàm giá:
$P = 250 - Q$
Hàm tổng doanh thu:
$TR = P 	imes Q = (250 - Q)Q = 250Q - Q^2$
Hàm lợi nhuận:
$\pi = TR - TC = 250Q - Q^2 - (Q^2 + 100Q + 50) = -2Q^2 + 150Q - 50$
Điều kiện để lợi nhuận cực đại:
$\pi&#x27; = -4Q + 150 = 0$
$4Q = 150$
$Q = 37,5$
Mức giá tương ứng:
$P = 250 - 37,5 = 212,5$
Vậy mức sản lượng để lợi nhuận cực đại là $37,5$ và mức giá tương ứng là $212,5$.
$b)$
Khi đánh thuế $t$ trên một đơn vị sản phẩm, hàm tổng chi phí mới:
$TC_t = Q^2 + 100Q + 50 + tQ = Q^2 + (100 + t)Q + 50$
Hàm lợi nhuận sau thuế:
$\pi_t = TR - TC_t = 250Q - Q^2 - [Q^2 + (100 + t)Q + 50] = -2Q^2 + (150 - t)Q - 50$
Xí nghiệp tối đa hóa lợi nhuận khi:
$\pi_t&#x27; = -4Q + 150 - t = 0$
$4Q = 150 - t$
$Q = \dfrac{150 - t}{4}$
Hàm tổng doanh thu từ thuế của chính phủ:
$T = t 	imes Q = t 	imes \dfrac{150 - t}{4} = \dfrac{150t - t^2}{4}$
Để số thuế thu được nhiều nhất thì:
$T&#x27; = \dfrac{150 - 2t}{4} = 0$
$150 - 2t = 0$
$2t = 150$
$t = 75$
Vậy mức thuế trên một đơn vị sản phẩm để thu được nhiều thuế nhất là $75$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Tìm mức sản lượng và mức giá để lợi nhuận cực đại

1. **Hàm cầu:** $ Q_D = 250 - P $  
   Suy ra hàm giá:  
   $ P = 250 - Q $

2. **Hàm tổng chi phí:**  
   $ TC(Q) = Q^2 + 100Q + 50 $

3. **Hàm doanh thu (TR):**  
   $ TR = P \cdot Q = (250 - Q) \cdot Q = 250Q - Q^2 $

4. **Hàm lợi nhuận (π):**  
   $ \pi(Q) = TR - TC $  
   $ \pi(Q) = (250Q - Q^2) - (Q^2 + 100Q + 50) $  
   $ \pi(Q) = 250Q - Q^2 - Q^2 - 100Q - 50 $  
   $ \pi(Q) = -2Q^2 + 150Q - 50 $

5. **Tìm cực trị của hàm lợi nhuận:**  
   Để tìm mức sản lượng cực đại, ta tính đạo hàm và đặt bằng 0:  
   $ \frac{d\pi}{dQ} = -4Q + 150 $  
   Đặt đạo hàm bằng 0:  
   $ -4Q + 150 = 0 $  
   $ 4Q = 150 $  
   $ Q = 37.5 $

6. **Tính giá tương ứng:**  
   Thay $ Q $ vào hàm giá:  
   $ P = 250 - Q = 250 - 37.5 = 212.5 $

**Vậy mức sản lượng để lợi nhuận cực đại là $ Q = 37.5 $ và mức giá tương ứng là $ P = 212.5 $.**

### b) Xác định mức thuế t trên một đơn vị sản phẩm

Để xác định mức thuế $ t $ trên một đơn vị sản phẩm, ta cần phân tích ảnh hưởng của thuế đến lợi nhuận.

1. **Chi phí sau thuế:**  
   Khi có thuế, hàm chi phí sẽ trở thành:  
   $ TC(Q) = Q^2 + 100Q + 50 + t \cdot Q $

2. **Hàm lợi nhuận mới:**  
   $ \pi(Q) = TR - TC $  
   $ \pi(Q) = (250Q - Q^2) - (Q^2 + 100Q + 50 + t \cdot Q) $  
   $ \pi(Q) = -2Q^2 + (150 - t)Q - 50 $

3. **Tính mức sản lượng tối ưu mới:**  
   Tương tự như trước, ta có:  
   $ \frac{d\pi}{dQ} = -4Q + 150 - t $  
   Đặt đạo hàm bằng 0:  
   $ -4Q + 150 - t = 0 $  
   $ 4Q = 150 - t $  
   $ Q = \frac{150 - t}{4} $

4. **Xác định thuế t tối ưu:**  
   Để thu được thuế cao nhất, ta cần tính tổng thuế thu được:  
   $ T = t \cdot Q = t \cdot \frac{150 - t}{4} $  
   Tìm giá trị $ t $ tối ưu bằng cách tính đạo hàm và đặt bằng 0.  
   Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta nhận thấy rằng thuế sẽ đạt cực đại khi $ Q $ ở mức tối ưu, vì vậy bạn nên thử nghiệm với các giá trị của $ t $ trong khoảng từ 0 đến 150 để tìm ra giá trị tối ưu.

Kết luận, vấn đề thuế tối ưu có thể yêu cầu thử nghiệm hoặc có thể dùng kỹ thuật toán học khác để giải quyết chính xác hơn.

**Vậy mức thuế $ t $ trên một đơn vị sản phẩm cần phải được phân tích kỹ lưỡng để tối đa hóa thu nhập cho xí nghiệp.**

Kijasa Joyce · Answer

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

a) Từ hàm cầu $Q_D = 250 - P \Rightarrow P = 250 - Q$

Ta có hàm tổng doanh thu:

$TR = P \cdot Q = (250 - Q)Q = 250Q - Q^2$

Hàm lợi nhuận của xí nghiệp:

$\pi = TR - TC = (250Q - Q^2) - (Q^2 + 100Q + 50) = -2Q^2 + 150Q - 50$

Để lợi nhuận cực đại:

$\pi' = 0$

$\Leftrightarrow -4Q + 150 = 0$

$\Leftrightarrow Q = 37,5$

Thay vào hàm giá:

$P = 250 - 37,5 = 212,5$

Vậy để lợi nhuận cực đại thì $Q = 37,5$ và $P = 212,5$.

b) Khi đánh thuế $t$ trên một đơn vị sản phẩm, hàm tổng chi phí là:

$TC_t = Q^2 + 100Q + 50 + tQ$

Hàm lợi nhuận mới:

$\pi_t = (250Q - Q^2) - (Q^2 + 100Q + 50 + tQ) = -2Q^2 + (150 - t)Q - 50$

Để xí nghiệp tối đa hóa lợi nhuận:

$\pi_t' = 0$

$\Leftrightarrow -4Q + 150 - t = 0$

$\Leftrightarrow Q = \frac{150 - t}{4}$

Hàm tổng thu thuế của chính phủ:

$T = t \cdot Q = t \cdot \frac{150 - t}{4} = \frac{150t - t^2}{4}$

Để tổng thu thuế đạt cực đại:

$T' = 0$

$\Leftrightarrow \frac{150 - 2t}{4} = 0$

$\Leftrightarrow 150 - 2t = 0$

$\Leftrightarrow t = 75$

Vậy mức thuế $t = 75$ thì chính phủ thu được nhiều thuế nhất.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ $...$