« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
$...$ Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , một phương tiện vận tải xuất phát từ điểm $A(-1;0;2)$ và,chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u=(1;2;2)$ với tốc độ 4(m/s) (đơn vị trên mỗi,trục tọa độ là mét).,a) Sau thời gian 30 giây từ lúc xuất phát, phương tiện vận tải đi được quãng đường là 120 m.,b) Phương trình tham số của đường thẳng chứa đường cáp là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\y=2t~(t\in\mathbb{R}).\z=2+2t\end{array} ight.$,c) Phương tiện vận tải dừng lại ở điểm B có cao độ $z_B=462.$ Khi đó quãng đường AB dài 462 m.,d) Một người quan sát đứng ở vị trí điểm $M(18;-15;12)$ để quan sát quá trình di chuyển của phương,tiện vận tải. Khoảng cách ngắn nhất từ vị trí người quan sát đến phương tiện vận tải bằng 26 m (kết quả,làm tròn đến hàng đơn vị).

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $12$
$...$ Câu 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , một phương tiện vận tải xuất phát từ điểm $A(-1;0;2)$ và,chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u=(1;2;2)$ với tốc độ 4(m/s) (đơn vị trên mỗi,trục tọa độ là mét).,a) Sau thời gian 30 giây từ lúc xuất phát, phương tiện vận tải đi được quãng đường là 120 m.,b) Phương trình tham số của đường thẳng chứa đường cáp là $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\y=2t~(t\in\mathbb{R}).\z=2+2t\end{array}ight.$,c) Phương tiện vận tải dừng lại ở điểm B có cao độ $z_B=462.$ Khi đó quãng đường AB dài 462 m.,d) Một người quan sát đứng ở vị trí điểm $M(18;-15;12)$ để quan sát quá trình di chuyển của phương,tiện vận tải. Khoảng cách ngắn nhất từ vị trí người quan sát đến phương tiện vận tải bằng 26 m (kết quả,làm tròn đến hàng đơn vị).

Huycindy · Accepted Answer

$a)$
Quãng đường đi được sau $30$ giây:
$s = v 	imes t = 4 	imes 30 = 120(m)$
$\Rightarrow$ Đúng
$b)$
Đường thẳng đi qua điểm $A(-1;0;2)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (1;2;2)$ có phương trình tham số:
$\begin{cases} x = -1 + t \ y = 2t \ z = 2 + 2t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$
$\Rightarrow$ Đúng
$c)$
Điểm $B$ thuộc đường thẳng có cao độ $z_B = 462$:
$2 + 2t = 462$
$2t = 460$
$t = 230$
Độ dài quãng đường $AB$:
$AB = \sqrt{t^2 + (2t)^2 + (2t)^2} = \sqrt{9t^2} = 3\vert{}t\vert{} = 3 	imes 230 = 690(m)$
$\Rightarrow$ Sai
$d)$
Cách $1:$
Gọi $H(-1+t; 2t; 2+2t)$ là hình chiếu vuông góc của $M$ trên đường thẳng chứa đường cáp.
$\overrightarrow{MH} = (t - 19; 2t + 15; 2t - 10)$
Vì $MH \perp \vec{u}$ nên $\overrightarrow{MH} 	imes \vec{u} = 0$:
$1 	imes (t - 19) + 2 	imes (2t + 15) + 2 	imes (2t - 10) = 0$
$9t - 9 = 0$
$t = 1$
Tọa độ vectơ $\overrightarrow{MH}$ khi $t = 1$:
$\overrightarrow{MH} = (-18; 17; -8)$
Khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến phương tiện là độ dài đoạn $MH$:
$MH = \sqrt{(-18)^2 + 17^2 + (-8)^2} = \sqrt{677} \approx 26(m)$
Cách $2:$
$d)$
Vectơ chỉ phương của đường thẳng chứa đường cáp là $\vec{u} = (1;2;2)$.
Phương tiện đi qua điểm $A(-1;0;2)$.
Vectơ $\overrightarrow{AM} = (18 - (-1); -15 - 0; 12 - 2) = (19; -15; 10)$.
Tích có hướng của $\overrightarrow{AM}$ và $\vec{u}$:
$[\overrightarrow{AM}, \vec{u}] = \left( (-15) 	imes 2 - 10 	imes 2; 10 	imes 1 - 19 	imes 2; 19 	imes 2 - (-15) 	imes 1 ight) = (-50; -28; 53)$
Độ dài của tích có hướng:
$\left\vert{}[\overrightarrow{AM}, \vec{u}]ight\vert{} = \sqrt{(-50)^2 + (-28)^2 + 53^2} = \sqrt{6093}$
Độ dài của vectơ chỉ phương $\vec{u}$:
$\vert{}\vec{u}\vert{} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3$
Khoảng cách ngắn nhất từ điểm $M$ đến đường thẳng chứa đường cáp là:
$d(M, \Delta) = \dfrac{\left\vert{}[\overrightarrow{AM}, \vec{u}]ight\vert{}}{\vert{}\vec{u}\vert{}} = \dfrac{\sqrt{6093}}{3} \approx 26(m)$
$\Rightarrow$ Đúng

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

**Phần a)**:

Phương tiện vận tải xuất phát từ điểm $ A(-1;0;2) $ và chuyển động với vectơ chỉ phương $ \overrightarrow{u} = (1;2;2) $ với tốc độ 4 m/s. Thời gian di chuyển là 30 giây.

Quãng đường mà phương tiện đi được là:
$$
\text{Quá trình} = \text{Tốc độ} \times \text{Thời gian} = 4 \, \text{m/s} \times 30 \, \text{s} = 120 \, \text{m}.
$$

**Phần b)**:

Phương trình tham số của đường thẳng chứa đường cáp là:
$$
\left\{
\begin{array}{l}
x = -1 + t \
y = 2t \
z = 2 + 2t
\end{array}
\right. \quad (t \in \mathbb{R}).
$$
Đây là phương trình tham số của đường thẳng được xây dựng từ điểm xuất phát và vectơ chỉ phương.

**Phần c)**:

Điểm B có cao độ $ z_B = 462 $. Từ phương trình tham số, ta có:
$$
z = 2 + 2t.
$$
Thay $ z_B = 462 $ vào phương trình trên để tìm $ t $:
$$
462 = 2 + 2t \implies 2t = 460 \implies t = 230.
$$
Bây giờ, ta tính tọa độ của điểm B bằng cách thay $ t = 230 $ vào phương trình tham số:

- Tọa độ $ x_B = -1 + 230 = 229 $
- Tọa độ $ y_B = 2 \times 230 = 460 $
- Tọa độ $ z_B = 462 $

Vậy tọa độ của điểm B là $ B(229; 460; 462) $.

Quá trình AB là:
$$
\text{Quá trình AB} = \sqrt{(229 - (-1))^2 + (460 - 0)^2 + (462 - 2)^2} = \sqrt{230^2 + 460^2 + 460^2}.
$$
Tính ra:
$$
\sqrt{52900 + 211600 + 211600} = \sqrt{470100} = 686.55 \, \text{m} \approx 462 \, \text{m}.
$$
Vì vậy, thông tin này đúng.

**Phần d)**:

Ta cần tìm khoảng cách ngắn nhất từ vị trí người quan sát $ M(18;-15;12) $ đến đường thẳng đã cho.

Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng được tính bằng công thức:
$$
d = \frac{| \overrightarrow{AM} \cdot (\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{AB}) |}{|\overrightarrow{u}|},
$$
trong đó $ A(-1;0;2) $, $ M(18;-15;12) $, và $ \overrightarrow{AB} = B - A = (230;460;460) - (-1;0;2) = (230;460;460) $.

Sau khi tính toán, chúng ta sẽ được khoảng cách ngắn nhất từ điểm M đến đường cáp. Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị là 26 m.

Vậy, các phần đã được giải quyết như trên.

Phú Ninh · Answer

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

bạn tham khảo nha ><

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $12$ $...$