Giúp mình với! 2) Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}mx+y=4\x-my=1\end{array} ight.$ (với m là tham số),Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thỏa mãn x và y là hai số đối,nhau.

Question

Giúp mình với! 2) Cho hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}mx+y=4\x-my=1\end{array}ight.$ (với m là tham số),Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x,y)$ thỏa mãn x và y là hai số đối,nhau.

Huycindy · Accepted Answer

$\begin{cases} mx + y = 4 \quad (1) \ x - my = 1 \quad (2) \end{cases}$
Từ (2):
$x = my + 1$
Thay vào (1):
$m(my + 1) + y = 4$
$m^2y + m + y = 4$
$(m^2 + 1)y = 4 - m$
Vì $m^2 + 1 
eq 0$ với mọi $m$ nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi $m$:
$y = \dfrac{4 - m}{m^2 + 1}$
$x = m \cdot \dfrac{4 - m}{m^2 + 1} + 1$
$x = \dfrac{4m - m^2 + m^2 + 1}{m^2 + 1}$
$x = \dfrac{4m + 1}{m^2 + 1}$
Để $x$ và $y$ là hai số đối nhau:
$x + y = 0$
$\dfrac{4m + 1}{m^2 + 1} + \dfrac{4 - m}{m^2 + 1} = 0$
$\dfrac{3m + 5}{m^2 + 1} = 0$
$3m + 5 = 0$
$3m = -5$
$m = \dfrac{-5}{3}$
Vậy $m = \dfrac{-5}{3}$.

Timi · Answer

Để giải hệ phương trình:

$$
\begin{cases}
mx + y = 4 \
x - my = 1
\end{cases}
$$

với yêu cầu nghiệm duy nhất $(x,y)$ thỏa mãn $x$ và $y$ là hai số đối nhau, ta cần tìm $m$.

### Bước 1: Biểu diễn $y$ từ phương trình đầu tiên

Từ phương trình thứ nhất:

$$
y = 4 - mx
$$

### Bước 2: Thay $y$ vào phương trình thứ hai

Thay $y$ vào phương trình thứ hai:

$$
x - m(4 - mx) = 1
$$

Giải phương trình này:

$$
x - 4m + m^2x = 1
$$

Gom lại các hạng tử:

$$
(1 + m^2)x - 4m = 1
$$

Chuyển hạng tử về bên phải:

$$
(1 + m^2)x = 1 + 4m
$$

### Bước 3: Tìm $x$

Giải cho $x$:

$$
x = \frac{1 + 4m}{1 + m^2}
$$

### Bước 4: Tìm $y$

Thay $x$ vào biểu thức của $y$:

$$
y = 4 - m\left(\frac{1 + 4m}{1 + m^2}\right)
$$

Tính $y$:

$$
y = 4 - \frac{m(1 + 4m)}{1 + m^2} = \frac{4(1 + m^2) - m(1 + 4m)}{1 + m^2}
$$

### Bước 5: Xác định điều kiện nghiệm duy nhất

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi hệ số của $x$ và $y$ khác 0. Điều này tương đương với điều kiện $1 + m^2 \neq 0$, luôn đúng với mọi $m$.

### Bước 6: Điều kiện $x$ và $y$ là số đối nhau

Yêu cầu $x + y = 0$:

$$
\frac{1 + 4m}{1 + m^2} + \frac{4(1 + m^2) - m(1 + 4m)}{1 + m^2} = 0
$$

Giải phương trình:

$$
1 + 4m + 4(1 + m^2) - m(1 + 4m) = 0
$$

Rút gọn:

$$
1 + 4m + 4 + 4m^2 - m - 4m^2 = 0 \implies 5 + 3m = 0 \implies m = -\frac{5}{3}
$$

### Kết luận

Giá trị của $m$ để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và $x, y$ là hai số đối nhau là:

$$
\boxed{-\frac{5}{3}}
$$