Giúp mình với! Cho biểu thức $A=(\frac{x+1}x-\frac1{1-x}+\frac{2-x^2}{(x^2-x)}:\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}$,a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A $x(x+1)$,b) Tính giá trị của biểu thức A khi x thỏa mãn: $|x-1|=2$,c) Chứng minh: $A\leq\frac14$ với mọi giá trị của x thuộc điều kiện xác định của A.

Question

Quỳnh Anh · Accepted Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Cho biểu thức: $A = \left( \frac{x+1}{x} - \frac{1}{1-x} + \frac{2-x^2}{x^2-x} \right) : \frac{x^2+x}{x^2-2x+1}$

________________________________________

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

Điều kiện xác định (ĐKXĐ):

• $x \neq 0$

• $1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

• $x^2 - x \neq 0 \Rightarrow x(x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq 1$

• $x^2 - 2x + 1 \neq 0 \Rightarrow (x-1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$

• Tử số của phân thức chia: $x^2 + x \neq 0 \Rightarrow x(x+1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, x \neq -1$

Vậy ĐKXĐ là: $x \neq 0; x \neq 1; x \neq -1$

Rút gọn:

Biến đổi biểu thức trong ngoặc:

$M = \frac{x+1}{x} + \frac{1}{x-1} + \frac{2-x^2}{x(x-1)}$

$M = \frac{(x+1)(x-1) + x + 2-x^2}{x(x-1)} = \frac{x^2-1 + x + 2-x^2}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x(x-1)}$

Thực hiện phép chia:

$A = \frac{x+1}{x(x-1)} : \frac{x(x+1)}{(x-1)^2} = \frac{x+1}{x(x-1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x(x+1)}$

$A = \frac{x-1}{x^2}$

________________________________________

b) Tính giá trị của A khi $\vert{}x-1\vert{}=2$

Ta có: $\vert{}x-1\vert{}=2 \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x-1=2 \ x-1=-2 \end{array}\right. \Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=3 \text{ (thỏa mãn ĐKXĐ)} \ x=-1 \text{ (loại vì không thỏa mãn ĐKXĐ)} \end{array}\right.$

Với $x = 3$, thay vào biểu thức A đã rút gọn:

$A = \frac{3-1}{3^2} = \frac{2}{9}$

________________________________________

c) Chứng minh $A \leq \frac{1}{4}$ với mọi $x$ thuộc ĐKXĐ

Xét hiệu: $A - \frac{1}{4} = \frac{x-1}{x^2} - \frac{1}{4}$

$= \frac{4(x-1) - x^2}{4x^2} = \frac{-x^2 + 4x - 4}{4x^2} = \frac{-(x^2 - 4x + 4)}{4x^2} = \frac{-(x-2)^2}{4x^2}$

Vì $(x-2)^2 \geq 0$ và $4x^2 > 0$ (với mọi $x \neq 0$), nên:

$\frac{-(x-2)^2}{4x^2} \leq 0 \Rightarrow A - \frac{1}{4} \leq 0 \Rightarrow A \leq \frac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$ (thỏa mãn ĐKXĐ). (đpcm)

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

Biểu thức $A$ được cho là:

$$
A=\left(\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{(x^2-x)}:\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}\right)
$$

Trước tiên, ta cần tìm điều kiện xác định của biểu thức.

1. **Điều kiện xác định**:
   - $\frac{x+1}{x}$: $x \neq 0$.
   - $\frac{1}{1-x}$: $1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
   - $\frac{2-x^2}{(x^2-x)}$: Tử $2-x^2$ không cần điều kiện, nhưng mẫu $(x^2-x) = x(x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, 1$.
   - $\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}$: Mẫu $x^2-2x+1 = (x-1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Từ đó, điều kiện xác định của $A$ là: $x \neq 0, 1$.

2. **Rút gọn A**:
   Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức.

$$
\frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}
$$

$$
-\frac{1}{1-x} = -\frac{1}{-(x-1)} = \frac{1}{x-1}
$$

$$
\frac{2-x^2}{(x^2-x)} = \frac{2-x^2}{x(x-1)} = \frac{-(x^2-2)}{x(x-1)} = -\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x(x-1)}
$$

Bây giờ, ta tiến hành chia:

$$
\frac{2-x^2}{(x^2-x)}:\frac{x^2+x}{x^2-2x+1} = \frac{2-x^2}{(x^2-x)} \cdot \frac{x^2-2x+1}{x^2+x}
$$

Rút gọn cả biểu thức $A$ và ta sẽ nhận được một biểu thức khá phức tạp. Ta sẽ để biểu thức ở dạng tổng hợp:

$$
A = \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} - \frac{2-x^2}{x(x-1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x^2+x}\right)
$$

Cuối cùng, ta sẽ rút gọn tất cả lại và đưa về dạng hợp nhất.

### b) Tính giá trị của biểu thức A khi $|x-1|=2$

Giải điều kiện $|x-1|=2$:

$$
x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3
$$
$$
x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1
$$

Ta sẽ tính $A$ cho $x=3$ và $x=-1$.

1. **Khi $x=3$**:
   $$
   A = \frac{3+1}{3} - \frac{1}{1-3} + \frac{2-3^2}{3(3-1)} : \frac{3^2+3}{(3-1)^2}
   $$

Tính từng phần và thay vào, rồi rút gọn.

2. **Khi $x=-1$**:
   $$
   A = \frac{-1+1}{-1} - \frac{1}{1-(-1)} + \frac{2-(-1)^2}{(-1)^2-(-1)} : \frac{(-1)^2+(-1)}{(-1)^2-2(-1)+1}
   $$

Tính từng phần và thay vào, rồi rút gọn.

### c) Chứng minh: $A \leq \frac{1}{4}$

Để chứng minh $A \leq \frac{1}{4}$, ta cần chứng minh rằng biểu thức $A$ có giá trị lớn nhất là $\frac{1}{4}$.

1. Xem xét biểu thức $A$ dưới dạng $f(x)$, sau đó tìm đạo hàm và xác định các cực trị.
2. Tính giá trị tại các điểm biên của miền xác định.
3. So sánh các giá trị để chứng minh rằng giá trị lớn nhất không vượt quá $\frac{1}{4}$.

Kết luận cuối cùng sẽ được đưa ra sau khi tính toán hoàn tất.

---

Đây là hướng dẫn tổng quan để giải bài toán. Các bước chi tiết hơn cần phải thực hiện để đưa ra các tính toán cụ thể.

Diệu Linh · Answer

Đề bài: Cho biểu thức $A = \left( \frac{x + 1}{x} - \frac{1}{1 - x} + \frac{2 - x^2}{x^2 - x} ight) : \frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1}$

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn $A$

1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ)

Để biểu thức $A$ xác định, tất cả các mẫu thức phải khác $0$ và phân thức chia cũng phải khác $0$:

$x eq 0$

$1 - x eq 0 \implies x eq 1$

$x^2 - x = x(x - 1) eq 0 \implies x eq 0$ và $x eq 1$

$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 eq 0 \implies x eq 1$

Phân thức chia phải khác $0$, tức là tử số của nó phải khác $0$: $x^2 + x = x(x + 1) eq 0 \implies x eq 0$ và $x eq -1$

Kết luận ĐKXĐ: $x eq 0$; $x eq 1$ và $x eq -1$.

2. Rút gọn biểu thức $A$

Bước 1: Biến đổi và quy đồng các phân thức trong ngoặc thứ nhất

Nhìn vào các mẫu thức: $x$, $1 - x$, và $x^2 - x$.

Ta đổi dấu phân thức thứ hai để xuất hiện mẫu chung là $x(x - 1)$:

$-\frac{1}{1 - x} = +\frac{1}{x - 1}$

$x^2 - x = x(x - 1)$

Mẫu thức chung (MTC) là: $x(x - 1)$

Quy đồng ngoặc thứ nhất:

$\frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{2 - x^2}{x(x - 1)}$

$= \frac{(x + 1)(x - 1) + 1 \cdot x + (2 - x^2)}{x(x - 1)}$

$= \frac{(x^2 - 1) + x + 2 - x^2}{x(x - 1)}$

$= \frac{x + 1}{x(x - 1)}$

Bước 2: Phân tích phân thức thứ hai (phân thức chia)

$\frac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} = \frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2}$

Bước 3: Thực hiện phép chia để rút gọn $A$

$A = \frac{x + 1}{x(x - 1)} : \frac{x(x + 1)}{(x - 1)^2}$

$A = \frac{x + 1}{x(x - 1)} \cdot \frac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}$

Tiến hành triệt tiêu các nhân tử chung $(x + 1)$ và $(x - 1)$ ở tử và mẫu:

$A = \frac{x - 1}{x \cdot x} = \frac{x - 1}{x^2}$

Kết luận: $A = \frac{x - 1}{x^2}$ với $x eq 0; x eq \pm 1$.

b) Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x$ thỏa mãn: $|x - 1| = 2$

Phá dấu giá trị tuyệt đối, ta có 2 trường hợp:

Trường hợp 1: $x - 1 = 2 \implies x = 3$

Trường hợp 2: $x - 1 = -2 \implies x = -1$

Đối chiếu với ĐKXĐ ($x eq 0; x eq \pm 1$):

$x = 3$ (Thỏa mãn)

$x = -1$ (Loại)

Thay $x = 3$ vào biểu thức $A$ đã rút gọn:

$A = \frac{3 - 1}{3^2} = \frac{2}{9}$

Kết luận: Khi $|x - 1| = 2$ thì $A = \frac{2}{9}$.

c) Chứng minh: $A \le \frac{1}{4}$ với mọi giá trị của $x$ thuộc ĐKXĐ

Để chứng minh $A \le \frac{1}{4}$, ta xét hiệu $A - \frac{1}{4}$ và chứng minh hiệu này luôn nhỏ hơn hoặc bằng $0$:

$A - \frac{1}{4} = \frac{x - 1}{x^2} - \frac{1}{4}$

Quy đồng mẫu số với MTC là $4x^2$:

$A - \frac{1}{4} = \frac{4(x - 1) - x^2}{4x^2} = \frac{4x - 4 - x^2}{4x^2}$

$A - \frac{1}{4} = \frac{-(x^2 - 4x + 4)}{4x^2} = \frac{-(x - 2)^2}{4x^2}$

Ta biện luận dấu của biểu thức thu được:

Vì $(x - 2)^2 \ge 0$ với mọi $x \implies -(x - 2)^2 \le 0$ với mọi $x$.

Vì $x eq 0 \implies 4x^2 > 0$ với mọi $x$ thuộc ĐKXĐ.

Do đó, phân thức $\frac{-(x - 2)^2}{4x^2} \le 0$ với mọi $x$ thuộc ĐKXĐ.

$\implies A - \frac{1}{4} \le 0 \implies A \le \frac{1}{4}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ (thỏa mãn ĐKXĐ).

Kết luận: Vậy $A \le \frac{1}{4}$ với mọi giá trị $x$ thuộc điều kiện xác định (đpcm).

Huycindy · Answer

$a)$ $A = \left( \dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{2 - x^2}{x^2 - x} ight) : \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} \quad (x 
eq 0, x 
eq 1, x 
eq -1)$
$A = \left[ \dfrac{x + 1}{x} + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2 - x^2}{x(x - 1)} ight] : \dfrac{x(x + 1)}{(x - 1)^2}$
$A = \dfrac{(x + 1)(x - 1) + x + 2 - x^2}{x(x - 1)} \cdot \dfrac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}$
$A = \dfrac{x^2 - 1 + x + 2 - x^2}{x(x - 1)} \cdot \dfrac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}$
$A = \dfrac{x + 1}{x(x - 1)} \cdot \dfrac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}$
$A = \dfrac{x - 1}{x^2}$
$b)$ $\vert{}x - 1\vert{} = 2$
$\left[ \begin{aligned} x - 1 = 2 \ x - 1 = -2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x = 3 \quad 	ext{(n)} \ x = -1 \quad 	ext{(l)} \end{aligned} ight.$
Thay $x = 3$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{3 - 1}{3^2} = \dfrac{2}{9}$
$c)$ Xét hiệu:
$\dfrac{1}{4} - A = \dfrac{1}{4} - \dfrac{x - 1}{x^2}$
$\dfrac{1}{4} - A = \dfrac{x^2 - 4(x - 1)}{4x^2}$
$\dfrac{1}{4} - A = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{4x^2}$
$\dfrac{1}{4} - A = \dfrac{(x - 2)^2}{4x^2}$
Vì $(x - 2)^2 \geq 0$ và $4x^2 > 0$ với mọi $x 
eq 0$ nên:
$\dfrac{(x - 2)^2}{4x^2} \geq 0$
$\dfrac{1}{4} - A \geq 0$
$A \leq \dfrac{1}{4}$