Giúp mình với! Cho biểu thức $A=(\frac{x+1}x-\frac1{1-x}+\frac{2-x^2}{(x^2-x)}:\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}$,a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A $x(x+1)$,b) Tính giá trị của biểu thức A khi x thỏa mãn: $|x-1|=2$,c) Chứng minh: $A\leq\frac14$ với mọi giá trị của x thuộc điều kiện xác định của A.

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ $A = \left( \dfrac{x + 1}{x} - \dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{2 - x^2}{x^2 - x} ight) : \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} \quad (x 
eq 0, x 
eq 1, x 
eq -1)$
$A = \left[ \dfrac{x + 1}{x} + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2 - x^2}{x(x - 1)} ight] : \dfrac{x(x + 1)}{(x - 1)^2}$
$A = \dfrac{(x + 1)(x - 1) + x + 2 - x^2}{x(x - 1)} \cdot \dfrac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}$
$A = \dfrac{x^2 - 1 + x + 2 - x^2}{x(x - 1)} \cdot \dfrac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}$
$A = \dfrac{x + 1}{x(x - 1)} \cdot \dfrac{(x - 1)^2}{x(x + 1)}$
$A = \dfrac{x - 1}{x^2}$
$b)$ $\vert{}x - 1\vert{} = 2$
$\left[ \begin{aligned} x - 1 = 2 \ x - 1 = -2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x = 3 \quad 	ext{(n)} \ x = -1 \quad 	ext{(l)} \end{aligned} ight.$
Thay $x = 3$ vào biểu thức $A$:
$A = \dfrac{3 - 1}{3^2} = \dfrac{2}{9}$
$c)$ Xét hiệu:
$\dfrac{1}{4} - A = \dfrac{1}{4} - \dfrac{x - 1}{x^2}$
$\dfrac{1}{4} - A = \dfrac{x^2 - 4(x - 1)}{4x^2}$
$\dfrac{1}{4} - A = \dfrac{x^2 - 4x + 4}{4x^2}$
$\dfrac{1}{4} - A = \dfrac{(x - 2)^2}{4x^2}$
Vì $(x - 2)^2 \geq 0$ và $4x^2 > 0$ với mọi $x 
eq 0$ nên:
$\dfrac{(x - 2)^2}{4x^2} \geq 0$
$\dfrac{1}{4} - A \geq 0$
$A \leq \dfrac{1}{4}$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A

Biểu thức $A$ được cho là:

$$
A=\left(\frac{x+1}{x}-\frac{1}{1-x}+\frac{2-x^2}{(x^2-x)}:\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}\right)
$$

Trước tiên, ta cần tìm điều kiện xác định của biểu thức.

1. **Điều kiện xác định**:
   - $\frac{x+1}{x}$: $x \neq 0$.
   - $\frac{1}{1-x}$: $1 - x \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.
   - $\frac{2-x^2}{(x^2-x)}$: Tử $2-x^2$ không cần điều kiện, nhưng mẫu $(x^2-x) = x(x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0, 1$.
   - $\frac{x^2+x}{x^2-2x+1}$: Mẫu $x^2-2x+1 = (x-1)^2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1$.

Từ đó, điều kiện xác định của $A$ là: $x \neq 0, 1$.

2. **Rút gọn A**:
   Ta sẽ rút gọn từng phần của biểu thức.

$$
\frac{x+1}{x} = 1 + \frac{1}{x}
$$

$$
-\frac{1}{1-x} = -\frac{1}{-(x-1)} = \frac{1}{x-1}
$$

$$
\frac{2-x^2}{(x^2-x)} = \frac{2-x^2}{x(x-1)} = \frac{-(x^2-2)}{x(x-1)} = -\frac{(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})}{x(x-1)}
$$

Bây giờ, ta tiến hành chia:

$$
\frac{2-x^2}{(x^2-x)}:\frac{x^2+x}{x^2-2x+1} = \frac{2-x^2}{(x^2-x)} \cdot \frac{x^2-2x+1}{x^2+x}
$$

Rút gọn cả biểu thức $A$ và ta sẽ nhận được một biểu thức khá phức tạp. Ta sẽ để biểu thức ở dạng tổng hợp:

$$
A = \left(1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} - \frac{2-x^2}{x(x-1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{x^2+x}\right)
$$

Cuối cùng, ta sẽ rút gọn tất cả lại và đưa về dạng hợp nhất.

### b) Tính giá trị của biểu thức A khi $|x-1|=2$

Giải điều kiện $|x-1|=2$:

$$
x - 1 = 2 \Rightarrow x = 3
$$
$$
x - 1 = -2 \Rightarrow x = -1
$$

Ta sẽ tính $A$ cho $x=3$ và $x=-1$.

1. **Khi $x=3$**:
   $$
   A = \frac{3+1}{3} - \frac{1}{1-3} + \frac{2-3^2}{3(3-1)} : \frac{3^2+3}{(3-1)^2}
   $$

Tính từng phần và thay vào, rồi rút gọn.

2. **Khi $x=-1$**:
   $$
   A = \frac{-1+1}{-1} - \frac{1}{1-(-1)} + \frac{2-(-1)^2}{(-1)^2-(-1)} : \frac{(-1)^2+(-1)}{(-1)^2-2(-1)+1}
   $$

Tính từng phần và thay vào, rồi rút gọn.

### c) Chứng minh: $A \leq \frac{1}{4}$

Để chứng minh $A \leq \frac{1}{4}$, ta cần chứng minh rằng biểu thức $A$ có giá trị lớn nhất là $\frac{1}{4}$.

1. Xem xét biểu thức $A$ dưới dạng $f(x)$, sau đó tìm đạo hàm và xác định các cực trị.
2. Tính giá trị tại các điểm biên của miền xác định.
3. So sánh các giá trị để chứng minh rằng giá trị lớn nhất không vượt quá $\frac{1}{4}$.

Kết luận cuối cùng sẽ được đưa ra sau khi tính toán hoàn tất.

---

Đây là hướng dẫn tổng quan để giải bài toán. Các bước chi tiết hơn cần phải thực hiện để đưa ra các tính toán cụ thể.