Giúp mình với! Bài 31: Cho hai biểu thức $A=\frac{4\sqrt x}{\sqrt x-2}$ và $B=\frac2{\sqrt x+2}+\frac2{\sqrt x-2}$ với $x0,~x
e4.$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=16.$,b) Rút gọn biểu thức $P=\frac BA.$,c) Tìm các giá trị nguyên của x để $P\frac14.$

Question

Giúp mình với! Bài 31: Cho hai biểu thức $A=\frac{4\sqrt x}{\sqrt x-2}$ và $B=\frac2{\sqrt x+2}+\frac2{\sqrt x-2}$ với $x>0,~x
e4.$,a) Tính giá trị của biểu thức A khi $x=16.$,b) Rút gọn biểu thức $P=\frac BA.$,c) Tìm các giá trị nguyên của x để $P>\frac14.$

H_e_n_d_y · Accepted Answer

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải bài toán từng phần một. ### a) Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $. Đầu tiên, thay $ x = 16 $ vào biểu thức $ A $: $$ A = \frac{4\sqrt{16}}{\sqrt{16}-2} $$ Tính giá trị $ \sqrt{16} $: $$ \sqrt{16} = 4 $$ Thay vào biểu thức $ A $: $$ A = \frac{4 \cdot 4}{4 - 2} = \frac{16}{2} = 8 $$ **Kết quả:** Giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $ là $ 8 $. --- ### b) Rút gọn biểu thức $ P = \frac{B}{A} $. Đầu tiên, chúng ta tính $ B $: $$ B = \frac{2}{\sqrt{x} + 2} + \frac{2}{\sqrt{x} - 2} $$ Đưa về mẫu chung: $$ B = \frac{2(\sqrt{x} - 2) + 2(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} = \frac{2\sqrt{x} - 4 + 2\sqrt{x} + 4}{(\sqrt{x})^2 - 4} = \frac{4\sqrt{x}}{x - 4} $$ Giờ chúng ta có: $$ B = \frac{4\sqrt{x}}{x - 4} $$ Biểu thức $ A $ đã được tính là: $$ A = \frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} $$ Bây giờ, thay vào biểu thức $ P $: $$ P = \frac{B}{A} = \frac{\frac{4\sqrt{x}}{x - 4}}{\frac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}} = \frac{4\sqrt{x}}{x - 4} \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{4\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} $$ **Kết quả:** Biểu thức $ P $ được rút gọn là $ P = \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} $. --- ### c) Tìm các giá trị nguyên của $ x $ để $ P > \frac{1}{4} $. Chúng ta cần giải bất phương trình: $$ \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} > \frac{1}{4} $$ Nhân chéo: $$ 4(\sqrt{x} - 2) > x - 4 $$ Rút gọn: $$ 4\sqrt{x} - 8 > x - 4 $$ $$ 4\sqrt{x} - x > 4 $$ $$ 4\sqrt{x} - x - 4 > 0 $$ Đặt $ t = \sqrt{x} $, thì $ t^2 = x $ và bất phương trình trở thành: $$ 4t - t^2 - 4 > 0 $$ $$ -t^2 + 4t - 4 > 0 $$ $$ t^2 - 4t + 4 < 0 $$ $$ (t - 2)^2 < 0 $$ Biểu thức này không có nghiệm nào vì $ (t - 2)^2 $ luôn không âm và chỉ bằng 0 tại $ t = 2 $. Do đó, $ \sqrt{x} $ không thể nhỏ hơn 2. Vậy $ x $ chỉ có thể là: $$ \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 $$ Nhưng $ x = 4 $ không hợp lệ vì đề bài đã cho $ x \ne 4 $. Vậy không có giá trị nguyên nào của $ x $ thỏa mãn điều kiện $ P > \frac{1}{4} $. **Kết quả:** Không có giá trị nguyên nào của $ x $ để $ P > \frac{1}{4} $.

Huycindy · Answer

a) Thay x = 16 vào biểu thức A: $A = \dfrac{4\sqrt{16}}{\sqrt{16}-2}$ $A = \dfrac{4 \cdot 4}{4-2}$ $A = \dfrac{16}{2}$ A = 8 b) Ta có biểu thức B: $B = \dfrac{2}{\sqrt{x}+2} + \dfrac{2}{\sqrt{x}-2}\quad (x > 0, x eq 4)$ $B = \dfrac{2(\sqrt{x}-2) + 2(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$ $B = \dfrac{2\sqrt{x}-4+2\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$ $B = \dfrac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}$ Ta có biểu thức $P = \dfrac{B}{A}$: $P = \dfrac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} : \dfrac{4\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ $P = \dfrac{4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)} \cdot \dfrac{\sqrt{x}-2}{4\sqrt{x}}$ $P = \dfrac{1}{\sqrt{x}+2}$ c) Để $P > \dfrac{1}{4}$ thì: $\dfrac{1}{\sqrt{x}+2} > \dfrac{1}{4}$ Vì $\sqrt{x}+2 > 0$ và 4 > 0 nên: $\sqrt{x}+2 < 4$ $\sqrt{x} < 4 - 2$ $\sqrt{x} < 2$ x < 4 Kết hợp đkxd: 0 < x < 4 Vì x là số nguyên nên ta tìm được các giá trị x là: $x \in \{1; 2; 3\}$