« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
$...$ Bài 13,$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=210.$ Tính giá trị của,2) Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn,biểu thức $A=|a-b|+|b-c|+|c-a|.$

Question

« CÂU HỎI 
Toán Học · Lớp $9$
$...$ Bài 13,$(a-b)^3+(b-c)^3+(c-a)^3=210.$ Tính giá trị của,2) Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn,biểu thức $A=|a-b|+|b-c|+|c-a|.$

Phụng Huỳnh Công · Accepted Answer

{"userId": 5433079, "userName": "Katiee ୨୧ "}ề bài
Cho các số nguyên a, b, c thoả mãn: (a - b)^3 + (b - c)^3 + (c - a)^3 = 210.
Tính giá trị của biểu thức A = |a - b| + |b - c| + |c - a|.
Lời giải
Đặt x = a - b, y = b - c, z = c - a.
Khi đó, ta có:
x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0.
Đề bài cho: x^3 + y^3 + z^3 = 210.
1. Sử dụng hằng đẳng thức:
Với x + y + z = 0, ta có hằng đẳng thức đáng chú ý:

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của các số nguyên và biểu thức đã cho.

1. Ta có biểu thức: 
   $$(a-b)^3 + (b-c)^3 + (c-a)^3 = 210.$$

2. Sử dụng định lý về tổng khối lập phương, ta có:
   $$(x+y+z)^3 = x^3 + y^3 + z^3 + 3(x+y)(y+z)(z+x).$$
   Ở đây, chúng ta có thể đặt $x = a-b$, $y = b-c$, $z = c-a$.

Tuy nhiên, do $x + y + z = 0$ (bởi vì khi cộng ba biểu thức này lại sẽ trở về $0$), ta có:
   $$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz.$$
   Vậy, ta có:
   $$3xyz = 210 \Rightarrow xyz = 70.$$

3. Ta cần tính giá trị của:
   $$A = |a-b| + |b-c| + |c-a|.$$

4. Dựa vào định nghĩa của các giá trị tuyệt đối, ta có:
   $$|a-b| = |x|, |b-c| = |y|, |c-a| = |z|.$$

5. Sử dụng công thức cho tổng giá trị tuyệt đối:
   $$A = |x| + |y| + |z|.$$

6. Nhận thấy rằng $xyz = (a-b)(b-c)(c-a)$ và để tìm được giá trị của $A$, chúng ta cần tìm các giá trị riêng của $x$, $y$, và $z$ thỏa mãn $xyz = 70$.

7. Một vài tổ hợp giá trị nguyên cho $x, y, z$ có thể là: 
   - $x = 5, y = 2, z = -7$
   - $x = 7, y = 5, z = -2$
   - ...

8. Giả sử ta có giá trị:
   - Với $x = 5, y = 2, z = -7$:
     $$A = |5| + |2| + |-7| = 5 + 2 + 7 = 14.$$

9. Do đó, giá trị của $A$ có thể nhận giá trị là 14.

Kết luận: Giá trị của $A$ là $ \boxed{14} $.

Huycindy · Answer

$2)$ Đặt $x = a - b$, $y = b - c$, $z = c - a$ với $x, y, z \in \mathbb{Z}$
Ta có tổng ba số:
$x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0$
Theo hằng đẳng thức ta có:
$x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)$
Do $x + y + z = 0$ nên:
$x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz$
Theo đề bài:
$3xyz = 210$
$xyz = 70$
Vì $xyz = 70 > 0$ và $x + y + z = 0$ nên trong ba số có một số dương và hai số âm.
Phân tích số $70$ thành tích của ba số nguyên có tổng bằng $0$:
$70 = 7 . (-5) . (-2)$
Do đó tập giá trị trị tuyệt đối là:
$\{\vert{}x\vert{}; \vert{}y\vert{}; \vert{}z\vert{}\} = \{7; 5; 2\}$
Ta có biểu thức $A$:
$A = \vert{}a - b\vert{} + \vert{}b - c\vert{} + \vert{}c - a\vert{}$
$A = \vert{}x\vert{} + \vert{}y\vert{} + \vert{}z\vert{}$
$A = 7 + 5 + 2$
$A = 14$

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$