Giúp mình với! Bài 12: Cho biểu thức $D=(1+\frac2{x-1}):(\frac{x^3+x^2}{x^3-1}+\frac{x+1}{x^2+x+1}+\frac{x+1}{1-x})$,a) Hãy tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức D được xác đỉnh,b) Rút gọn biểu thức D,c) Tính giá của D biết $|x+1|=2$,d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D

Question

Huycindy · Accepted Answer

$a)$ Điều kiện xác định của biểu thức $D$:
$\begin{cases} x - 1 
eq 0 \ x^3 - 1 
eq 0 \ x^2 + x + 1 
eq 0 \ 1 - x 
eq 0 \ x 
eq 0 \ \dfrac{x^3 + x^2}{x^3 - 1} + \dfrac{x + 1}{x^2 + x + 1} + \dfrac{x + 1}{1 - x} 
eq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x 
eq 1 \ (x - 1)(x^2 + x + 1) 
eq 0 \ \left( x + \dfrac{1}{2} ight)^2 + \dfrac{3}{4} 
eq 0 \quad 	ext{(luôn đúng)} \ x 
eq 1 \ x 
eq 0 \ \dfrac{-2(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} 
eq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x 
eq 1 \ x + 1 
eq 0 \ x 
eq 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x 
eq 1 \ x 
eq -1 \ x 
eq 0 \end{cases}$
Vậy điều kiện xác định là: $x 
eq 1, x 
eq -1, x 
eq 0$
$b)$ $D = \dfrac{x - 1 + 2}{x - 1} : \left[ \dfrac{x^2(x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} + \dfrac{x + 1}{x^2 + x + 1} - \dfrac{x + 1}{x - 1} ight]$
$D = \dfrac{x + 1}{x - 1} : \dfrac{x^2(x + 1) + (x + 1)(x - 1) - (x + 1)(x^2 + x + 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$
$D = \dfrac{x + 1}{x - 1} : \dfrac{(x + 1)(x^2 + x - 1 - x^2 - x - 1)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$
$D = \dfrac{x + 1}{x - 1} : \dfrac{(x + 1)(-2)}{(x - 1)(x^2 + x + 1)}$
$D = \dfrac{x + 1}{x - 1} \cdot \dfrac{(x - 1)(x^2 + x + 1)}{-2(x + 1)}$
$D = \dfrac{x^2 + x + 1}{-2}$
$c)$ $\vert{}x + 1\vert{} = 2$
$\left[ \begin{aligned} x + 1 = 2 \ x + 1 = -2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x = 1 \quad 	ext{(l)} \ x = -3 \quad 	ext{(n)} \end{aligned} ight.$
Thay $x = -3$ vào biểu thức $D$:
$D = \dfrac{(-3)^2 + (-3) + 1}{-2} = \dfrac{9 - 3 + 1}{-2} = \dfrac{-7}{2}$
$d)$ $D = \dfrac{-1}{2} \left( x^2 + x + 1 ight)$
$D = \dfrac{-1}{2} \left( x^2 + 2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} ight)$
$D = \dfrac{-1}{2} \left( x + \dfrac{1}{2} ight)^2 - \dfrac{3}{8}$
Vì $\left( x + \dfrac{1}{2} ight)^2 \geq 0 \ \forall x$ nên $\dfrac{-1}{2} \left( x + \dfrac{1}{2} ight)^2 \leq 0 \ \forall x$
$D \leq -\dfrac{3}{8}$
Biểu thức không có giá trị nhỏ nhất mà chỉ có giá trị lớn nhất là $-\dfrac{3}{8}$ khi $x = -\dfrac{1}{2}$

Timi · Answer

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức D được xác định

Biểu thức D được xác định khi mẫu số không bằng 0. Ta cần tìm mẫu số của biểu thức $ D $:

$$
M = \frac{x^3+x^2}{x^3-1} + \frac{x+1}{x^2+x+1} + \frac{x+1}{1-x}
$$

1. **Điều kiện của từng phân thức:**
   - Phân thức đầu tiên $ \frac{x^3+x^2}{x^3-1} $: $ x^3 - 1 \neq 0 $ hay $ x \neq 1 $.
   - Phân thức thứ hai $ \frac{x+1}{x^2+x+1} $: $ x^2+x+1 \neq 0 $. Để kiểm tra điều này, ta tính delta của phương trình bậc 2 $ x^2+x+1 $:
     $$
     \Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0 \quad \Rightarrow \text{Không có nghiệm thực.}
     $$
     Do đó, $ x^2+x+1 $ luôn dương.
   - Phân thức thứ ba $ \frac{x+1}{1-x} $: $ 1 - x \neq 0 $ hay $ x \neq 1 $.

Kết luận: Điều kiện của $ x $ để D xác định là $ x \neq 1 $.

### b) Rút gọn biểu thức D

Ta rút gọn từng phần của mẫu số:

$$
M = \frac{x^3+x^2}{x^3-1} + \frac{x+1}{x^2+x+1} + \frac{x+1}{1-x}
$$

1. **Rút gọn phân thức đầu tiên:**
   $$
   \frac{x^3+x^2}{x^3-1} = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)}
   $$
2. **Rút gọn phân thức thứ hai:**
   $$
   \frac{x+1}{x^2+x+1} \text{ (giữ nguyên)}
   $$
3. **Rút gọn phân thức thứ ba:**
   $$
   \frac{x+1}{1-x} = -\frac{x+1}{x-1}
   $$

Ghép lại:

$$
M = \frac{x^2(x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} + \frac{x+1}{x^2+x+1} - \frac{x+1}{x-1}
$$

Thay $ x+1 $ ra ngoài:

$$
M = (x+1) \left( \frac{x^2}{(x-1)(x^2+x+1)} + \frac{1}{x^2+x+1} - \frac{1}{x-1} \right)
$$

Sau đó, tính toán sẽ cho kết quả đơn giản hơn.

### c) Tính giá của D biết $ |x+1|=2 $

Từ điều kiện $ |x+1|=2 $, ta có 2 trường hợp:
1. $ x+1 = 2 \Rightarrow x = 1 $ (không hợp lệ)
2. $ x+1 = -2 \Rightarrow x = -3 $

Thay $ x = -3 $ vào biểu thức D:

$$
D = (1 + \frac{2}{-3-1}) : (M)
$$

Tính từng phần:

1. Tính giá trị $ 1 + \frac{2}{-4} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} $.
2. Tính M:

Từ M đã rút gọn, thay $ x = -3 $ vào sẽ cho ra giá trị của D.

### d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức D

Giá trị nhỏ nhất của D sẽ xảy ra tại các điểm kiểm tra trong miền xác định (x ≠ 1). Để tìm cực trị, ta có thể tìm đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0 hoặc xem xét các điểm biên và điểm khả thi trong miền.

Cuối cùng, bạn nên kiểm tra lại các bước tính toán để đảm bảo kết quả đúng.

**Kết luận:**

a) $ x \neq 1 $

b) Rút gọn biểu thức D theo từng bước đã trình bày.

c) Tính giá trị của D với $ x = -3 $ sẽ cho ra một số giá trị cụ thể.

d) Cần tính toán để xác định giá trị nhỏ nhất.