Giúp mình với! Câu 1 (2,0 điểm),Cho biểu thức $A=\frac{x+1}{\sqrt x}+\frac{\sqrt{x^3}-1}{x-\sqrt x}-\frac{x\sqrt x+1}{x+\sqrt x}$ với $x0;x
e1.$,1. Rút gọn biểu thức A.,2. Với những giá trị nào của x thì biểu thức $P=\frac6A$ nhận giá trị nguyên?

Question

Giúp mình với! Câu 1 (2,0 điểm),Cho biểu thức $A=\frac{x+1}{\sqrt x}+\frac{\sqrt{x^3}-1}{x-\sqrt x}-\frac{x\sqrt x+1}{x+\sqrt x}$ với $x>0;x
e1.$,1. Rút gọn biểu thức A.,2. Với những giá trị nào của x thì biểu thức $P=\frac6A$ nhận giá trị nguyên?

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

1.

Với $x > 0; x eq 1$, ta có:

$A = \frac{x+1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^3}-1}{x-\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}$

$= \frac{x+1}{\sqrt{x}} + \frac{(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} - \frac{(\sqrt{x}+1)(x-\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}$

$= \frac{x+1}{\sqrt{x}} + \frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}} - \frac{x-\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$= \frac{x+1+x+\sqrt{x}+1-x+\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}$

$= \frac{x+2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}$

$= \frac{(\sqrt{x}+1)^2}{\sqrt{x}}$

2.

$P = \frac{6}{A} = \frac{6\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2}$

Vì $x > 0 \implies 6\sqrt{x} > 0$ và $(\sqrt{x}+1)^2 > 0 \implies P > 0$

Mặt khác: $P = \frac{6}{x+2\sqrt{x}+1} = \frac{6}{\sqrt{x}+2+\frac{1}{\sqrt{x}}}$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho $\sqrt{x} > 0$ và $\frac{1}{\sqrt{x}} > 0$:

$\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$

Do $x eq 1 \implies \sqrt{x} eq 1 \implies \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} > 2$

$\implies \sqrt{x}+2+\frac{1}{\sqrt{x}} > 4 \implies P < \frac{6}{4} = 1,5$

Mà $P \in \mathbb{Z} \implies P = 1$

$\implies \frac{6\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+1)^2} = 1$

$\implies 6\sqrt{x} = x + 2\sqrt{x} + 1$

$\implies x - 4\sqrt{x} + 1 = 0$

$\implies (\sqrt{x}-2)^2 - 3 = 0$

$\implies (\sqrt{x}-2-\sqrt{3})(\sqrt{x}-2+\sqrt{3}) = 0$

Trường hợp 1:

$\sqrt{x} = 2 + \sqrt{3} \implies x = (2+\sqrt{3})^2 = 7 + 4\sqrt{3}$ (thỏa mãn)

Trường hợp 2:

$\sqrt{x} = 2 - \sqrt{3} \implies x = (2-\sqrt{3})^2 = 7 - 4\sqrt{3}$ (thỏa mãn)

Vậy $x = 7 \pm 4\sqrt{3}$.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

### Bước 1: Rút gọn biểu thức A

Biểu thức được cho là:

$$
A = \frac{x+1}{\sqrt{x}} + \frac{\sqrt{x^3}-1}{x-\sqrt{x}} - \frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}
$$

**Phân tích từng phần của A:**

1. **Phần thứ nhất:**

$$
\frac{x+1}{\sqrt{x}} = \frac{x}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}
$$

2. **Phần thứ hai:**

Xét phần thứ hai, ta có:

$$
\sqrt{x^3} - 1 = \sqrt{x}(\sqrt{x^2}-\frac{1}{\sqrt{x}}) = \sqrt{x}(\sqrt{x^2} - 1) = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)
$$

Và:

$$
x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)
$$

Vì vậy:

$$
\frac{\sqrt{x^3}-1}{x-\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} = \sqrt{x} + 1 \quad \text{(với } x \neq 1\text{)}
$$

3. **Phần thứ ba:**

Với phần thứ ba, ta có:

$$
\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x}(x + \frac{1}{\sqrt{x}})}{x + \sqrt{x}}
$$

Đặt $y = \sqrt{x}$, ta có:

$$
\frac{y^3 + 1}{y^2 + y} = \frac{(y + 1)(y^2 - y + 1)}{y(y + 1)} = \frac{y^2 - y + 1}{y}
$$

Từ đó:

$$
\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}} = y - 1 + \frac{1}{y}
$$

### Rút gọn A

Gom lại ta có:

$$
A = (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) + (\sqrt{x} + 1) - (y - 1 + \frac{1}{y})
$$
$$
= 2\sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} - (y - 1 + \frac{1}{y})
$$
$$
= 2\sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} - (\sqrt{x} - 1 + \frac{1}{\sqrt{x}})
$$
$$
= 2\sqrt{x} + 1 + \frac{1}{\sqrt{x}} - \sqrt{x} + 1 - \frac{1}{\sqrt{x}}
$$
$$
= \sqrt{x} + 2
$$

### Bước 2: Tìm giá trị nguyên của P

Ta có $P = \frac{6}{A} = \frac{6}{\sqrt{x} + 2}$.

Để $P$ là số nguyên, $\sqrt{x} + 2$ phải là ước số của 6.

Các ước số của 6 là: 1, 2, 3, 6.

Giải từng trường hợp:

1. **Khi $\sqrt{x} + 2 = 1$:** 
   Không có nghiệm vì $\sqrt{x}$ không thể âm.

2. **Khi $\sqrt{x} + 2 = 2$:** 
   $\sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$ không thỏa mãn.

3. **Khi $\sqrt{x} + 2 = 3$:**
   $\sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$ không thỏa mãn.

4. **Khi $\sqrt{x} + 2 = 6$:**
   $\sqrt{x} = 4 \Rightarrow x = 16$.

Vậy, giá trị của $x$ để $P$ là số nguyên là $x = 16$.

### Kết luận

1. Biểu thức $A$ sau khi rút gọn là $A = \sqrt{x} + 2$.
2. Biểu thức $P = \frac{6}{A}$ nhận giá trị nguyên khi $x = 16$.

kick cl · Answer

Huycindy · Answer

Câu $1$ $1\Bigg)$ $A = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} - \dfrac{(\sqrt{x} + 1)(x - \sqrt{x} + 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}$ $A = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} - \dfrac{x - \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ $A = \dfrac{x + 1 + x + \sqrt{x} + 1 - x + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}$ $A = \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}$ $A = \dfrac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}}$ Vậy $A = \dfrac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}}$. $2\Bigg)$ $P = \dfrac{6}{\dfrac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}}}$ $P = \dfrac{6}{\sqrt{x} + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}}$ Vì $\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq 2$ $\forall x > 0, x eq 1$ Nên $\sqrt{x} + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq 4$ Do $x eq 1$ nên $\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} > 2$ Dẫn đến $\sqrt{x} + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} > 4$ Mặt khác, do $x > 0$ nên $\sqrt{x} + 2 + \dfrac{1}{\sqrt{x}} > 0$ Ta có $P > 0$ Do đó $0 < P < \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}$ Vì $P$ nhận giá trị nguyên nên $P = 1$ Khi đó $\dfrac{6}{\dfrac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}}} = 1$ $\dfrac{(\sqrt{x} + 1)^2}{\sqrt{x}} = 6$ $x + 2\sqrt{x} + 1 = 6\sqrt{x}$ $x - 4\sqrt{x} + 1 = 0$ $\left[ \begin{aligned} \sqrt{x} = 2 + \sqrt{3} \ \sqrt{x} = 2 - \sqrt{3} \end{aligned} ight.$ $\left[ \begin{aligned} x = 7 + 4\sqrt{3} \ x = 7 - 4\sqrt{3} \end{aligned} ight.$ Vậy $P$ nhận giá trị nguyên khi $x \in \{7 - 4\sqrt{3}; 7 + 4\sqrt{3}\}$.

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5294082,"userName":"Hurricane"}

Câu 1

Đặt t=

x

(t > 0; t ≠ 1).

1) Rút gọn A

A = (t² + 1)/t + (t³ - 1)/(t² - t) - (t³ + 1)/(t² + t)

= (t² + 1)/t + (t² + t + 1)/t - (t² - t + 1)/t

= (t² + 2t + 1)/t

= (t + 1)²/t

Vậy:

A = (√x + 1)²/√x

2) Tìm x để P = 6/A nhận giá trị nguyên

P = 6t/(t + 1)²

Do (t - 1)² ≥ 0

=> (t + 1)² ≥ 4t

=> P = 6t/(t + 1)² ≤ 3/2

Mà P > 0 và P nguyên

=> P = 1

=> 6t = (t + 1)²

=> t² - 4t + 1 = 0

=> t = 2 ± √3

=> x = t² = (2 ± √3)²

Vậy:

x = 7 - 4√3 hoặc x = 7 + 4√3

Đáp số:

A = (√x + 1)²/√x

x = 7 - 4√3 hoặc x = 7 + 4√3