Cho số nguyên tố p bất kì: CMR 1*2*...*(p-1) + 1 chia hết cho p

nguyenxuanphu123456789

Trường hợp 1: Với $p = 2$

Ta có: $1 + 1 = 2$.

Rõ ràng $2 \ \vdots \ 2$ (đúng).

Trường hợp 2: Với $p = 3$

Ta có: $1 \cdot 2 + 1 = 3$.

Rõ ràng $3 \ \vdots \ 3$ (đúng).

Trường hợp 3: Với $p > 3$

Xét các số từ $2$ đến $p-2$. Ta sẽ chứng minh rằng các số này có thể ghép thành từng cặp sao cho tích của mỗi cặp chia cho $p$ dư $1$.

Lấy một số $a$ bất kỳ thuộc nhóm $\{2, 3, \dots, p-2\}$.Xét các tích: $1a, 2a, 3a, \dots, (p-1)a$.

Vì $p$ là số nguyên tố và $a$ không chia hết cho $p$, nên khi chia các tích trên cho $p$, ta sẽ nhận được $p-1$ số dư khác nhau và các số dư này nhận các giá trị từ $1$ đến $p-1$.

Do đó, chắc chắn tồn tại duy nhất một số $b$ thuộc nhóm $\{1, 2, 3, \dots, p-1\}$ sao cho tích $a \cdot b$ chia cho $p$ dư $1$.

Nếu $b = 1$: Thì $a \cdot 1$ chia $p$ dư $1 \implies a - 1$ chia hết cho $p$. Điều này vô lý vì $2 \le a \le p-2$.

Nếu $b = p-1$: Thì $a \cdot (p-1) = ap - a$ chia $p$ dư $1 \implies -a$ chia $p$ dư $1 \implies a + 1$ chia hết cho $p$. Điều này cũng vô lý vì $2 \le a \le p-2$ (nên $3 \le a+1 \le p-1$, không thể chia hết cho $p$).

Nếu $b = a$: Tức là $a^2$ chia $p$ dư $1 \implies a^2 - 1$ chia hết cho $p$.

Phân tích thành nhân tử: $(a-1)(a+1)$ chia hết cho $p$.

Vì $p$ là số nguyên tố nên hoặc $a-1$ chia hết cho $p$, hoặc $a+1$ chia hết cho $p$. Như đã chứng minh ở Bước 2, điều này không thể xảy ra với các số từ $2$ đến $p-2$.

-> Các số trong tập hợp $\{2, 3, \dots, p-2\}$ luôn tìm được duy nhất một số khác nó cũng nằm trong tập hợp đó để tích của chúng chia $p$ dư $1$.

Vì nhóm $\{2, 3, \dots, p-2\}$ có số lượng số là số chẵn ($p-3$ là số chẵn do $p$ là số nguyên tố lẻ), ta hoàn toàn có thể chia chúng thành các cặp có tích chia $p$ dư $1$.

Khi nhân tất cả các cặp này lại với nhau, ta được:

$2 \cdot 3 \dots (p-2) \text{ chia } p \text{ dư } 1$

Tức là: $2 \cdot 3 \dots (p-2) = k \cdot p + 1$ (với $k$ là số nguyên).

Nhân thêm $1$ và $(p-1)$ vào biểu thức trên:

$1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (p-2) \cdot (p-1) = 1 \cdot (kp + 1) \cdot (p-1)$

$\implies [1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (p-1)] = kp^2 - kp + p - 1$

Bây giờ ta cộng thêm $1$ vào hai vế để ra biểu thức đề bài yêu cầu:

$[1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (p-1)] + 1 = kp^2 - kp + p$

$= p \cdot (kp - k + 1)$

Vì $p \cdot (kp - k + 1)$ hiển nhiên chia hết cho $p$, nên $[1 \cdot 2 \cdot 3 \dots (p-1)] + 1$ chia hết cho $p$.