tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn sau : a) $-4x+3y=8$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$-4x + 3y = 8$
$3y = 4x + 8$
$y = \dfrac{4x + 8}{3}$
$y = x + 2 + \dfrac{x + 2}{3}$
Để $y \in \mathbb{Z}$ thì $\dfrac{x + 2}{3} \in \mathbb{Z}$
Đặt $\dfrac{x + 2}{3} = t$ với $t \in \mathbb{Z}$
$x + 2 = 3t$
$x = 3t - 2$
$y = 3t - 2 + 2 + t$
$y = 4t$
Nghệm nguyên của phương trình là: $\begin{cases} x = 3t - 2 \ y = 4t \end{cases}$ $\forall t \in \mathbb{Z}$

Timi · Answer

Để tìm tất cả nghiệm nguyên của phương trình bậc nhất hai ẩn $ -4x + 3y = 8 $, chúng ta sẽ biến đổi phương trình để tìm các giá trị của $ y $ theo $ x $.

Bước 1: Biến đổi phương trình.
$$
3y = 4x + 8
$$
$$
y = \frac{4x + 8}{3}
$$

Bước 2: Để $ y $ là một số nguyên, biểu thức $ \frac{4x + 8}{3} $ cũng phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là $ 4x + 8 $ phải chia hết cho 3.

Bước 3: Xét điều kiện chia hết.
Tìm điều kiện cho $ 4x + 8 \equiv 0 \mod 3 $.
Tính $ 4 \mod 3 $ và $ 8 \mod 3 $:
$$
4 \equiv 1 \mod 3 \quad \text{và} \quad 8 \equiv 2 \mod 3
$$
Do đó, ta có:
$$
4x + 8 \equiv x + 2 \equiv 0 \mod 3
$$
Hay:
$$
x \equiv -2 \equiv 1 \mod 3
$$
Tức là $ x $ có thể viết dưới dạng:
$$
x = 3k + 1 \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Bước 4: Thay vào công thức của $ y $.
Thay $ x = 3k + 1 $ vào phương trình tính $ y $:
$$
y = \frac{4(3k + 1) + 8}{3}
$$
$$
y = \frac{12k + 4 + 8}{3}
$$
$$
y = \frac{12k + 12}{3} = 4k + 4
$$

Bước 5: Tổng hợp nghiệm.
Vậy tất cả các nghiệm nguyên của phương trình $ -4x + 3y = 8 $ là:
$$
(x, y) = (3k + 1, 4k + 4) \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z}
$$

Đáp án: Tất cả nghiệm nguyên của phương trình là $ (x, y) = (3k + 1, 4k + 4) $ với $ k $ là số nguyên.

My_Secret_Box · Answer

Ta có phương trình: $-4x + 3y = 8$

$3y = 4x + 8$

$y = \frac{4x + 8}{3}$

$y = \frac{3x + x + 6 + 2}{3}$

$y = x + 2 + \frac{x + 2}{3}$

Để $y$ nhận giá trị nguyên thì $x$ phải nguyên và $\frac{x + 2}{3}$ phải nhận giá trị nguyên.

Đặt $\frac{x + 2}{3} = k$ với $k \in \mathbb{Z}$

$x + 2 = 3k$

$x = 3k - 2$

Thay $x = 3k - 2$ vào biểu thức của $y$:

$y = (3k - 2) + 2 + k$

$y = 4k$

Vậy tất cả các nghiệm nguyên của phương trình là:

$\begin{cases} x = 3k - 2 \ y = 4k \end{cases}$ với $k \in \mathbb{Z}$