Giúp mình với! 14. Chứng minh rằng $\frac{1-4\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2}=(\sin\alpha+\cos\alpha)^2.$

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

$$VT=\frac{1-4\sin^2\alpha.\cos^2\alpha}{\left(\sin\alpha-\cos\alpha\right)^2}$$

$$=\frac{1^2-\left(2\sin\alpha\cos\alpha\right)^2}{\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha}$$

$$=\frac{\left(1-2\sin\alpha\cos\alpha\right)\left(1+2\sin\alpha\cos\alpha\right)}{\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)-2\sin\alpha\cos\alpha}$$

$$=\frac{\left(1-2\sin\alpha\cos\alpha\right)\left(1+2\sin\alpha\cos\alpha\right)}{1-2\sin\alpha\cos\alpha}$$

$$=1+2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$=\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)+2\sin\alpha\cos\alpha$$

$$=\left(\sin\alpha+\cos\alpha\right)^2=VP\left(đpcm\right)$$.

Timi · Answer

Để chứng minh đẳng thức

$$
\frac{1 - 4\sin^2\alpha \cos^2\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2,
$$

ta sẽ bắt đầu từ vế trái và đơn giản hóa nó.

### Bước 1: Tính $(\sin\alpha - \cos\alpha)^2$

$$
(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha.
$$

Biết rằng $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, ta có:

$$
(\sin\alpha - \cos\alpha)^2 = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha.
$$

### Bước 2: Tính $1 - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha$

Sử dụng công thức $4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = \sin^2(2\alpha)$:

$$
1 - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha = 1 - \sin^2(2\alpha) = \cos^2(2\alpha).
$$

### Bước 3: Thay vào vế trái

Giờ ta thay vào vế trái:

$$
\frac{1 - 4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = \frac{\cos^2(2\alpha)}{1 - 2\sin\alpha\cos\alpha}.
$$

### Bước 4: Chứng minh $ (\sin\alpha + \cos\alpha)^2 $

Tính vế phải:

$$
(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\cos\alpha + \cos^2\alpha.
$$

Tương tự như trước, ta có:

$$
(\sin\alpha + \cos\alpha)^2 = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha.
$$

### Bước 5: Tương đương hai vế

Giờ ta cần chứng minh rằng

$$
\frac{\cos^2(2\alpha)}{1 - 2\sin\alpha\cos\alpha} = 1 + 2\sin\alpha\cos\alpha.
$$

Giả sử đặt $x = 2\sin\alpha\cos\alpha$, vậy $x = \sin(2\alpha)$ và $1 - x = 1 - 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Khi đó, $\cos^2(2\alpha) = 1 - \sin^2(2\alpha)$ cho ta

$$
\frac{\cos^2(2\alpha)}{1 - x} = 1 + x.
$$

### Bước 6: Kiểm tra

Đặt $1 - x = \frac{\cos^2(2\alpha)}{1 + x}$, thì khi nhân chéo và sắp xếp lại, chúng ta sẽ có các thành phần tương tự như trên.

Kết luận, chúng ta đã chứng minh rằng

$$
\frac{1 - 4\sin^2\alpha \cos^2\alpha}{(\sin\alpha - \cos\alpha)^2} = (\sin\alpha + \cos\alpha)^2.
$$

Vậy kết quả là đúng.

๖ۣۜƝƘ☆ċô pé cô đơn❦ · Answer

Huycindy · Answer

Ta có: $\dfrac{1-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha-\cos\alpha)^2} =\dfrac{(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha)^2-(2\sin\alpha\cos\alpha)^2}{\sin^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha} =\dfrac{(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha)(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha)}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha} =\sin^2\alpha+\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha =(\sin\alpha+\cos\alpha)^2(dpcm)$