Giúp mình với! 16. Tính giá trị của biểu thức,$a)~M=4\cos^245^0+\sqrt3\cot30^0-16\cos^360^0;$,$b)~N=\frac{2\sin30^0-\sin60^0}{\cos^230^0-\cos60^0}.$

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

a)

$M = 4\cos^2 45^\circ + \sqrt{3}\cot 30^\circ - 16\cos^3 60^\circ$

$= 4 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} - 16 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3$

$= 4 \cdot \frac{1}{2} + 3 - 16 \cdot \frac{1}{8}$

$= 2 + 3 - 2$

$= 3$

b)

$N = \frac{2\sin 30^\circ - \sin 60^\circ}{\cos^2 30^\circ - \cos 60^\circ}$

$= \frac{2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \frac{1}{2}}$

$= \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{4} - \frac{1}{2}}$

$= \frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}}$

$= \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot 4$

$= 2(2 - \sqrt{3})$

$= 4 - 2\sqrt{3}$

Timi · Answer

Chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức lần lượt cho từng phần a) và b).

### a) Tính giá trị của biểu thức $ M = 4\cos^2 45^\circ + \sqrt{3} \cot 30^\circ - 16 \cos^3 60^\circ $

1. **Tính các giá trị lượng giác**:
   - $ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $
   - $ \cot 30^\circ = \frac{1}{\tan 30^\circ} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} $
   - $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

2. **Thay vào biểu thức**:
   - $ \cos^2 45^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $
   - $ \cos^3 60^\circ = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} $

3. **Tính từng phần trong biểu thức**:
   - $ 4\cos^2 45^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2 $
   - $ \sqrt{3} \cot 30^\circ = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 $
   - $ -16 \cos^3 60^\circ = -16 \cdot \frac{1}{8} = -2 $

4. **Tính giá trị cuối cùng của $ M $**:
   $$
   M = 2 + 3 - 2 = 3
   $$

### b) Tính giá trị của biểu thức $ N = \frac{2\sin 30^\circ - \sin 60^\circ}{\cos^2 30^\circ - \cos 60^\circ} $

1. **Tính các giá trị lượng giác**:
   - $ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} $
   - $ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $
   - $ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} $
   - $ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $

2. **Thay vào biểu thức**:
   - $ \cos^2 30^\circ = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} $

3. **Tính từng phần trong biểu thức**:
   - Tử số: 
   $$
   2\sin 30^\circ - \sin 60^\circ = 2 \cdot \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2}
   $$
   - Mẫu số: 
   $$
   \cos^2 30^\circ - \cos 60^\circ = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}
   $$

4. **Tính giá trị cuối cùng của $ N $**:
   $$
   N = \frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot 4 = 4 - 2\sqrt{3}
   $$

### Kết quả:
- a) $ M = 3 $
- b) $ N = 4 - 2\sqrt{3} $

Huycindy · Answer

$a)$ $M = 4 \cos^2 45^{\circ} + \sqrt{3} \cot 30^{\circ} - 16 \cos^3 60^{\circ}$
$M = 4 . \cos^2 45^{\circ} + \sqrt{3} . \dfrac{\cos 30^{\circ}}{\sin 30^{\circ}} - 16 . \cos^3 60^{\circ}$
$M = 4 . \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \sqrt{3} . \dfrac{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}} - 16 . \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$
$M = 4 . \dfrac{2}{4} + \sqrt{3} . \sqrt{3} - 16 . \dfrac{1}{8}$
$M = 2 + 3 - 2$
$M = 3$
$b)$ $N = \dfrac{2 \sin 30^{\circ} - \sin 60^{\circ}}{\cos^2 30^{\circ} - \cos 60^{\circ}}$
$N = \dfrac{2 \sin 30^{\circ} - 2 \sin 30^{\circ} \cos 30^{\circ}}{\cos^2 30^{\circ} - (2 \cos^2 30^{\circ} - 1)}$
$N = \dfrac{2 \sin 30^{\circ} (1 - \cos 30^{\circ})}{1 - \cos^2 30^{\circ}}$
$N = \dfrac{2 \sin 30^{\circ} (1 - \cos 30^{\circ})}{(1 - \cos 30^{\circ})(1 + \cos 30^{\circ})}$
$N = \dfrac{2 \sin 30^{\circ}}{1 + \cos 30^{\circ}}$
$N = \dfrac{2 . \dfrac{1}{2}}{1 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$
$N = \dfrac{1}{\dfrac{2 + \sqrt{3}}{2}}$
$N = \dfrac{2}{2 + \sqrt{3}}$
$N = \dfrac{2(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})}$
$N = \dfrac{4 - 2\sqrt{3}}{4 - 3}$
$N = 4 - 2\sqrt{3}$