Giúp mình với! 13. Cho góc nhọn $\alpha.$ Chứng minh rằng:,$a)~\sin\alpha

Question

Giúp mình với! 13. Cho góc nhọn $\alpha.$ Chứng minh rằng:,$a)~\sin\alpha<	an\alpha;$ $b)~	an^2\alpha-\sin^2\alpha=	an^2\alpha.\sin^2\alpha$

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

Vì $$\alpha$$ là góc nhọn nên $$\sin\alpha>0;\cos\alpha>0;0<\cos\alpha<1$$

a)

$$VP= an\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

mà $$0<\cos\alpha<1$$ nên $$\frac{1}{\cos\alpha}>1$$ hay $$\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}>\sin\alpha$$ hay $$ an\alpha>\sin\alpha$$

b)

$$VT= an^2\alpha-\sin^2\alpha$$

$$=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}-\sin^2\alpha$$

$$=\sin^2\alpha.\left(\frac{1}{\cos^2\alpha}-1 ight)$$

$$=\sin^2\alpha.\left(\frac{1-\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} ight)$$

$$=\sin^2\alpha.\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$$

$$=\sin^2\alpha. an^2\alpha=VP\left(đpcm ight)$$.

Timi · Answer

Để chứng minh các đẳng thức trong bài toán, chúng ta sẽ lần lượt giải quyết từng phần a) và b). **a)** Chứng minh rằng: $ \sin \alpha < \tan \alpha $ Bắt đầu với định nghĩa của tangent: $$ \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Vì $ \alpha $ là góc nhọn (tức là $ 0 < \alpha < \frac{\pi}{2} $), chúng ta có $ \cos \alpha > 0 $. Từ đó, ta có thể viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau: $$ \sin \alpha < \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $$ Khi nhân cả hai vế với $ \cos \alpha $ (vì $ \cos \alpha > 0 $, không làm thay đổi chiều bất đẳng thức), ta có: $$ \sin \alpha \cdot \cos \alpha < \sin \alpha $$ Chuyển vế, ta có: $$ \sin \alpha \cdot \cos \alpha - \sin \alpha < 0 $$ Phân tích biểu thức bên trái: $$ \sin \alpha (\cos \alpha - 1) < 0 $$ Vì $ \sin \alpha > 0 $ (vì $ \alpha $ là góc nhọn), ta chỉ cần xem xét dấu của $ \cos \alpha - 1 $. Rõ ràng, $ \cos \alpha < 1 $ với $ \alpha $ là góc nhọn. Vậy: $$ \cos \alpha - 1 < 0 $$ Do đó, ta có: $$ \sin \alpha (\cos \alpha - 1) < 0 $$ Vậy $ \sin \alpha < \tan \alpha $ đã được chứng minh. **b)** Chứng minh rằng: $ \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha $ Bắt đầu từ đẳng thức bên trái: $$ \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} - \sin^2 \alpha $$ Chuyển về cùng mẫu: $$ \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha - \sin^2 \alpha \cdot \cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} $$ Rút gọn biểu thức trong tử: $$ \sin^2 \alpha (1 - \cos^2 \alpha) = \sin^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha $$ Do $ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $. Vậy: $$ \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $$ Chúng ta có: $$ \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} \cdot \sin^2 \alpha = \frac{\sin^4 \alpha}{\cos^2 \alpha} $$ Vậy hai vế bằng nhau: $$ \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha $$ Do đó, ta đã chứng minh được đẳng thức yêu cầu. **Kết luận:** - a) $ \sin \alpha < \tan \alpha $ - b) $ \tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha $

ღⒹⓄⓇⒾⓈ♚ · Answer

Jull · Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

a) Chứng minh $\sin \alpha < \tan \alpha$

Ta có công thức định nghĩa:

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$Vì $\alpha $ là góc nhọn nên $0 < \cos \alpha < 1$.

Xét hiệu:$\tan \alpha -\sin \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }-\sin \alpha =\sin \alpha \left(\frac{1}{\cos \alpha }-1\right)$

Vì $0 < \cos \alpha < 1$ nên $\frac{1}{\cos \alpha} > 1$, suy ra $\frac{1}{\cos \alpha} - 1 > 0$.

Mặt khác, với $\alpha $ là góc nhọn thì $\sin \alpha > 0$.

Do đó: $\sin \alpha \left( \frac{1}{\cos \alpha} - 1 \right) > 0$

$\Rightarrow \tan \alpha - \sin \alpha > 0$

$\Rightarrow \sin \alpha < \tan \alpha$ (đpcm).

b) Chứng minh $\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$

Biến đổi vế trái (VT):

$VT=\tan ^{2}\alpha -\sin ^{2}\alpha $

$VT=\frac{\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }-\sin ^{2}\alpha $

Đặt $\sin^2 \alpha$ làm nhân tử chung:$VT=\sin ^{2}\alpha \left(\frac{1}{\cos ^{2}\alpha }-1\right)$

$VT=\sin ^{2}\alpha \left(\frac{1-\cos ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }\right)$

Mà ta đã biết: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha$.

Thay vào biểu thức trên:

$VT=\sin ^{2}\alpha \cdot \frac{\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }$

$VT=\sin ^{2}\alpha \cdot \tan ^{2}\alpha $

So sánh với vế phải (VP), ta thấy $VT = VP$.

Vậy $\tan^2 \alpha - \sin^2 \alpha = \tan^2 \alpha \cdot \sin^2 \alpha$ (đpcm).

Huycindy · Answer

$a)$ Ta có: $	an\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
Do $\alpha$ là góc nhọn nên $0 < \cos\alpha < 1$
$\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > \sin\alpha$
$\sin\alpha < 	an\alpha$ (đpcm)
$b)$ Ta có: $	an^2\alpha - \sin^2\alpha = \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} - \sin^2\alpha$
$= \sin^2\alpha \left( \dfrac{1}{\cos^2\alpha} - 1 ight)$
$= \sin^2\alpha \left( \dfrac{1 - \cos^2\alpha}{\cos^2\alpha} ight)$
$= \sin^2\alpha \dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$
$= 	an^2\alpha .\sin^2\alpha$ (đpcm)