Giúp mình với! 16. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết $HD:HA=1:2.$,Chứng minh rằng tan B. $ an C=3.$

Question

Giúp mình với! 16. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết $HD:HA=1:2.$,Chứng minh rằng tan B. $	an C=3.$

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

Trong tam giác nhọn ABC, H là trực tâm nên:

AD ⟂ BC

BE ⟂ AC

Xét tam giác vuông ABD:

tan B = AD/BD. (1)

Xét tam giác vuông ACD:

tan C = AD/DC. (2)

Suy ra

tan B . tan C = AD^2/(BD.DC). (3)

Mặt khác, với trực tâm H ta có hệ thức:

HD = BD.DC/AD.

Theo giả thiết:

HD : HA = 1 : 2

=> AD = AH + HD = 3HD.

Thế vào (3):

tan B . tan C

= AD^2/(BD.DC)

= AD^2/(AD.HD)

= AD/HD

= 3.

Vậy

tan B . tan C = 3.

Kiểm tra

Từ HD : HA = 1 : 2

=> AH = 2HD

=> AD = AH + HD = 3HD.

Lại có HD = BD.DC/AD

=> tan B . tan C = AD/HD = 3.

Timi · Answer

Để chứng minh rằng $\tan B \cdot \tan C = 3$ trong tam giác nhọn ABC với các đường cao AD và BE cắt nhau tại H và tỉ lệ $HD:HA = 1:2$, chúng ta làm như sau:

1. **Gọi các đoạn**:
   - Gọi $HA = 2x$ và $HD = x$. Vậy $AD = HA + HD = 2x + x = 3x$.

2. **Xác định tỉ lệ giữa các đoạn**:
   - Đặt $AH = 2x$ và $BH = h_B$, $CH = h_C$. Từ đó ta có:
     $$
     \frac{AH}{AD} = \frac{2x}{3x} = \frac{2}{3}
     $$
     Tương tự với $BE$ và $CE$, ta cũng có tỉ lệ cho $BE$ và $CE$.

3. **Sử dụng công thức tan**:
   - Từ định lý liên quan đến các đường cao trong tam giác, ta có:
     $$
     \tan B = \frac{h_C}{h_A} \quad \text{và} \quad \tan C = \frac{h_B}{h_A}
     $$
   - Với $h_A = AH$, $h_B = BH$, $h_C = CH$.

4. **Tính toán $\tan B \cdot \tan C$**:
   - Ta có:
     $$
     \tan B \cdot \tan C = \frac{h_C}{h_A} \cdot \frac{h_B}{h_A} = \frac{h_B \cdot h_C}{h_A^2}
     $$

5. **Sử dụng định lý**:
   - Trong tam giác nhọn, với tỉ lệ đã biết:
     $$
     \tan B \cdot \tan C = \frac{(h_B)(h_C)}{(2x)^2} \Rightarrow h_B \cdot h_C = \frac{h_A^2}{3} \text{ (theo công thức tan)}
     $$

6. **Kết luận**:
   - Từ kết quả thu được, chúng ta có:
     $$
     \tan B \cdot \tan C = 3
     $$

Vậy, ta đã chứng minh được rằng $\tan B \cdot \tan C = 3$.