Giúp mình với! PHẦN II. (4 điểm) Câu trắc nghiệm đúng sai. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng,hoặc sai.,Câu 1: Cho hàm số $f(x)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$ có đồ thị (C). Xét tính đúng sai các mệnh đề sau:,a) Đạo hàm của hàm số là $f^\prime(x)=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1)^2}.$,b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty).$,c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y=-x+2.$,d) Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là $y=-x+1.$

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5421844,"userName":"Little Wolf / QC"}

$$D=R\setminus\left\lbrace-1 ight brace$$

a) Đ

$$f\left(x ight)=\frac{-x^2+x-2}{x+1}$$

$$f^{\prime}\left(x ight)=\frac{\left(-2x+1 ight)\left(x+1 ight)-\left(-x^2+x-2 ight)}{\left(x+1 ight)^2}$$

$$=\frac{-2x^2-2x+x+1+x^2-x+2}{\left(x+1 ight)^2}$$

$$=\frac{-x^2-2x+3}{\left(x+1 ight)^2}$$

b) S

$$f^{\prime}\left(x ight)=0$$

$$\Rightarrow-x^2-2x+3=0$$

$$\Leftrightarrow\left[\begin{matrix}x=1 \ x=-3\end{matrix} ight.$$

Bảng xét dấu: (Hình ảnh)

$$f^{\prime}\left(x ight)<0$$ trên khoảng $$\left(1;+\infty)\Rightarrow ight.$$ hàm số nghịch biến trên $$\left(1;+\infty ight)$$

c) Đ

$$f\left(x ight)=\frac{-x^2-x+2x+2-4}{x+1}=-x+2-\frac{4}{x+1}$$

Vì $$\lim_{x o\pm\infty}\left\lbrack f\left(x ight)-\left(-x+2 ight) ight brack=\lim_{x o\pm\infty}\left(-\frac{4}{x+1} ight)=0$$ nên tiệm cận xiên là đường thẳng $$y=-x+2$$

d)

$$y=\frac{\left(-x^2+x-2 ight)^{\prime}}{\left(x+1 ight)^{\prime}}=\frac{-2x+1}{1}=-2x+1$$.

Timi · Answer

Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sẽ xem xét từng mệnh đề a), b), c), d) của hàm số $ f(x) = \frac{-x^2 + x - 2}{x + 1} $.

### Mệnh đề a)
**Đạo hàm của hàm số là $ f^\prime(x)=\frac{-x^2-2x+3}{(x+1)^2} $**

Chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $ bằng quy tắc chia:

$$
f^\prime(x) = \frac{(x+1)(-2x+1) - (-x^2+x-2)(1)}{(x+1)^2}
$$

Sau khi tính toán, ta có:

$$
f^\prime(x) = \frac{-2x^2 - 2x + x + 1 + x^2 - x + 2}{(x+1)^2} = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x+1)^2}
$$

Mệnh đề a) là **sai** (đạo hàm là $ f^\prime(x) = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x+1)^2} $, không phải là $ \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x+1)^2} $, mà phải là $ -x^2 - 2x + 3 $).

### Mệnh đề b)
**Hàm số đồng biến trên khoảng $ (1;+\infty) $**

Để kiểm tra tính đồng biến, ta cần xét dấu của $ f^\prime(x) $ trên khoảng này.

Xét $ f^\prime(x) = \frac{-x^2 - 2x + 3}{(x+1)^2} $. Phân tích biểu thức ở tử số:

$$
-x^2 - 2x + 3 = -(x^2 + 2x - 3) = -(x+3)(x-1)
$$

Dễ dàng thấy rằng $ f^\prime(x) > 0 $ cho $ x > 1 $.

Mệnh đề b) là **đúng**.

### Mệnh đề c)
**Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $ y=-x+2 $**

Để tìm tiệm cận xiên, ta cần tính giới hạn của $ f(x) $ khi $ x $ tiến ra vô cùng:

$$
\lim_{x \to +\infty} (f(x) - (-x + 2)) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{-x^2 + x - 2 + x^2 - 2x}{x + 1} \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x + 2}{x + 1} = -1
$$

Vậy tiệm cận xiên là $ y = -x + 1 $, không phải $ -x + 2 $.

Mệnh đề c) là **sai**.

### Mệnh đề d)
**Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số là $ y=-x+1 $**

Để xác định cực trị, ta cần giải phương trình $ f^\prime(x) = 0 $:

$$
-x^2 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0
$$

Phương trình này có nghiệm là $ x_1 = 1 $ và $ x_2 = -3 $.

Tính giá trị của hàm số tại hai điểm này:

$$
f(1) = \frac{-1 + 1 - 2}{2} = -1
$$
$$
f(-3) = \frac{-9 - 3 - 2}{-2} = 7
$$

Hai điểm cực trị là $ (1, -1) $ và $ (-3, 7) $.

Tính độ dốc của đường thẳng đi qua hai điểm này:

$$
\text{slope} = \frac{7 - (-1)}{-3 - 1} = \frac{8}{-4} = -2
$$

Phương trình đường thẳng là $ y - (-1) = -2(x - 1) $, hay $ y = -2x + 1 $, không phải $ y = -x + 1 $.

Mệnh đề d) là **sai**.

### Kết luận:
- a) Sai
- b) Đúng
- c) Sai
- d) Sai

Các mệnh đề đúng sai như sau:
a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.