Giúp mình với! Bài 5: Cho biểu thức $A=\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+3}+\frac{\sqrt x+1}{\sqrt x-3}+\frac{3-11\sqrt x}{9-x}$ và $B=\frac{\sqrt x-3}{\sqrt x+1}$ với $x\geq0,~x
e9.$,a) Tính giá trị của biểu thức B tại $x=36.$,b) Rút gọn A.,c) Tìm tất cả các số nguyên x để $P=A.B$ là số nguyên.

Question

Little Wolf / QC · Accepted Answer

{"userId":5430226,"userName":"Chí Đức Phạm"}

a) Tính giá trị của B tại x = 36

Với x = 36 thì √x = 6.

B = (√x - 3)/(√x + 1)

= (6 - 3)/(6 + 1)

= 3/7.

Đáp số: B = 3/7.

b) Rút gọn biểu thức A

A = 2√x/(√x + 3) + (√x + 1)/(√x - 3) + (3 - 11√x)/(9 - x)

Vì 9 - x = -(x - 9) = -(√x - 3)(√x + 3)

nên

(3 - 11√x)/(9 - x)

= (11√x - 3)/[(√x - 3)(√x + 3)].

Quy đồng:

A = [2√x(√x - 3) + (√x + 1)(√x + 3) + 11√x - 3]

/[(√x - 3)(√x + 3)]

= [2x - 6√x + x + 4√x + 3 + 11√x - 3]

/[(√x - 3)(√x + 3)]

= (3x + 9√x)/[(√x - 3)(√x + 3)]

= 3√x(√x + 3)/[(√x - 3)(√x + 3)]

= 3√x/(√x - 3).

c) Ta có:

P = A.B

= 3√x/(√x - 3) . (√x - 3)/(√x + 1)

= 3√x/(√x + 1)

= 3 - 3/(√x + 1).

Để P là số nguyên thì 3/(√x + 1) phải là số nguyên.

Mà √x + 1 > 0 nên:

√x + 1 ∈ Ư(3) = {1; 3}.

+ √x + 1 = 1 => √x = 0 => x = 0.

+ √x + 1 = 3 => √x = 2 => x = 4.

Vậy x = 0; 4.

Timi · Answer

a) Để tính giá trị của biểu thức $ B $ tại $ x = 36 $, chúng ta thay $ x $ vào biểu thức $ B $:

$$
B = \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}
$$

Khi $ x = 36 $, ta có $ \sqrt{36} = 6 $:

$$
B = \frac{6 - 3}{6 + 1} = \frac{3}{7}
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ B $ tại $ x = 36 $ là:

$$
\boxed{\frac{3}{7}}
$$

b) Để rút gọn biểu thức $ A $, ta sẽ tính toán từng phần của biểu thức:

$$
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} + \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x}
$$

Đầu tiên, xét biểu thức $ \frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x} $:

$$
9 - x = 9 - (\sqrt{x})^2 \quad \text{(gọi } y = \sqrt{x} \text{)}
$$
$$
9 - x = (3 - y)(3 + y)
$$

Do đó, $ A $ có thể được viết lại là:

$$
A = \frac{2y}{y + 3} + \frac{y + 1}{y - 3} + \frac{3 - 11y}{(3 - y)(3 + y)}
$$

Kết hợp ba biểu thức lại với nhau. Ta quy đồng mẫu cho hai phân số đầu tiên:

Mẫu số chung là $(y + 3)(y - 3)$:

$$
A = \frac{2y(y - 3) + (y + 1)(y + 3)}{(y + 3)(y - 3)} + \frac{3 - 11y}{(3 - y)(3 + y)}
$$

Rút gọn tử số:

$$
2y(y - 3) = 2y^2 - 6y
$$
$$
(y + 1)(y + 3) = y^2 + 4y + 3
$$

Cộng các tử số lại:

$$
2y^2 - 6y + y^2 + 4y + 3 = 3y^2 - 2y + 3
$$

Từ đó ta có:

$$
A = \frac{3y^2 - 2y + 3}{(y + 3)(y - 3)} + \frac{3 - 11y}{(3 - y)(3 + y)}
$$

Rút gọn các biểu thức phức tạp hơn có thể dẫn đến khó khăn hơn. Ta có thể tách và phân tích nếu cần.

c) Để tìm tất cả các số nguyên $ x $ để $ P = A \cdot B $ là số nguyên, trước hết ta cần biết $ A $.

Giá trị của $ A $ phụ thuộc vào giá trị của $ y $ hay $ \sqrt{x} $. Để $ P $ là số nguyên, $ A $ phải là bội số nguyên của $ B $.

Ta sẽ xem xét khi $ x = 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 $ để tìm $ A $ tại những giá trị này. Với những tính toán này, ta sẽ xác định các giá trị mà $ A $ và $ B $ tạo thành một tích nguyên.

Sau khi thay vào các giá trị $ x $ sẽ tìm ra các giá trị nguyên của $ x $ mà thỏa mãn điều kiện $ A \cdot B $ là số nguyên.

Chúng ta cần thực hiện các bước tính toán để tìm ra các số nguyên thích hợp, có thể đưa ra bài toán rõ hơn.

Để đơn giản, bạn có thể thử từng giá trị của $ x $ từ 0 đến 9 và tính lại để tìm giá trị hợp lệ cho $ A \cdot B $ là số nguyên.

Thực hiện các bước này sẽ giúp hoàn thành yêu cầu.

Huycindy · Answer

$a)$ Thay $x = 36$ vào biểu thức $B$:
$\sqrt{x} = \sqrt{36} = 6$
$B = \dfrac{6-3}{6+1}$
$B = \dfrac{3}{7}$
$b)$ $A = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} + \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3} + \dfrac{3-11\sqrt{x}}{9-x} \quad (x \ge 0$ và $x 
e 9)$
$A = \dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-3) + (\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}+3) - (3-11\sqrt{x})}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$A = \dfrac{2x - 6\sqrt{x} + x + 4\sqrt{x} + 3 - 3 + 11\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$A = \dfrac{3x + 9\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$A = \dfrac{3\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)}$
$A = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$
$c)$ Ta có $P = A \cdot B$
$P = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} \cdot \dfrac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}$
$P = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$
$P = 3 - \dfrac{3}{\sqrt{x}+1}$
Để biểu thức $P \in \mathbb{Z}$ với $x$ là số nguyên
Thì $\sqrt{x}$ phải là số nguyên và $\sqrt{x}+1$ phải là ước dương của $3$
Vì $\sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x}+1 \ge 1, \forall x \ge 0$ và $x 
e 9$
Nên xảy ra các trường hợp sau:
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x}+1 &= 1 \ \sqrt{x}+1 &= 3 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} \sqrt{x} &= 0 \ \sqrt{x} &= 2 \end{aligned} ight.$
$\left[ \begin{aligned} x &= 0 	ext{ (n)} \ x &= 4 	ext{ (n)} \end{aligned} ight.$
Vậy $x \in \{ 0; 4 \}$

PC dương đây · Answer

a) Tính giá trị của biểu thức B tại $x=36$

Điều kiện xác định của biểu thức B là $x \ge 0$. Do đó giá trị $x = 36$ thỏa mãn điều kiện.

Thay $x = 36$ vào biểu thức B ta được:

$B = \frac{\sqrt{36} - 3}{\sqrt{36} + 1}$

$B = \frac{6 - 3}{6 + 1} = \frac{3}{7}$

Vậy tại $x = 36$ thì giá trị của biểu thức B bằng $\frac{3}{7}$.

b) Rút gọn A

Điều kiện xác định: $x \ge 0$ và $x e 9$.

Để thuận tiện cho việc tìm mẫu thức chung, ta đổi dấu ở phân thức thứ ba:

$\frac{3 - 11\sqrt{x}}{9 - x} = \frac{11\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \frac{11\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

Mẫu thức chung là $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$. Quy đồng và rút gọn biểu thức A:

$A = \frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3) + (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3) + (11\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$A = \frac{(2x - 6\sqrt{x}) + (x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3) + 11\sqrt{x} - 3}{x - 9}$

$A = \frac{2x - 6\sqrt{x} + x + 4\sqrt{x} + 3 + 11\sqrt{x} - 3}{x - 9}$

$A = \frac{3x + 9\sqrt{x}}{x - 9}$

$A = \frac{3\sqrt{x}(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$A = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3}$

c) Tìm tất cả các số nguyên x để $P = A \cdot B$ là số nguyên

Ta có biểu thức P là:

$P = A \cdot B = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} \cdot \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} + 1}$

$P = \frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$

Biến đổi biểu thức P để tách phần nguyên:

$P = \frac{3(\sqrt{x} + 1) - 3}{\sqrt{x} + 1} = 3 - \frac{3}{\sqrt{x} + 1}$

Vì $x$ là số nguyên và $x \ge 0$ nên $\sqrt{x}$ có thể là số nguyên hoặc số vô tỉ.

Để P nhận giá trị nguyên thì $\sqrt{x}$ phải là số nguyên, đồng thời $\sqrt{x} + 1$ phải là ước của 3.

Do $x \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \ge 1$.

Vì vậy, $\sqrt{x} + 1$ chỉ có thể nhận các giá trị ước dương của 3 là $1$ và $3$.

Trường hợp 1:

$\sqrt{x} + 1 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0 ext{ (thỏa mãn điều kiện)}$

Trường hợp 2:

$\sqrt{x} + 1 = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4 ext{ (thỏa mãn điều kiện)}$

Vậy các giá trị nguyên $x$ cần tìm là $x = 0$ và $x = 4$.