« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
$...$ Câu 2(4,0 điểm):,Bằng đồ thị, hãy biện luận số nghiệm của phương trình: $|x|+|x-1|=m$

Question

rimru tempest · Accepted Answer

Timi · Answer

Để biện luận số nghiệm của phương trình $ |x| + |x - 1| = m $ bằng đồ thị, ta sẽ phân tích hàm số bên trái của phương trình và so sánh nó với hằng số $ m $. ### Bước 1: Xác định miền của $ x $ Hàm số $ |x| + |x - 1| $ có thể được phân tích thành các miền khác nhau tùy thuộc vào giá trị của $ x $: 1. **Khi $ x < 0 $**: $$ |x| = -x \quad \text{và} \quad |x - 1| = -x + 1 $$ Vậy, $$ |x| + |x - 1| = -x + (-x + 1) = -2x + 1 $$ 2. **Khi $ 0 \leq x < 1 $**: $$ |x| = x \quad \text{và} \quad |x - 1| = -x + 1 $$ Vậy, $$ |x| + |x - 1| = x + (-x + 1) = 1 $$ 3. **Khi $ x \geq 1 $**: $$ |x| = x \quad \text{và} \quad |x - 1| = x - 1 $$ Vậy, $$ |x| + |x - 1| = x + (x - 1) = 2x - 1 $$ ### Bước 2: Vẽ đồ thị của hàm $ y = |x| + |x - 1| $ Từ các phân tích trên, ta có: - Khi $ x < 0 $: Đồ thị là đường thẳng $ y = -2x + 1 $. - Khi $ 0 \leq x < 1 $: Đồ thị là đường thẳng $ y = 1 $ (hằng số). - Khi $ x \geq 1 $: Đồ thị là đường thẳng $ y = 2x - 1 $. ### Bước 3: Tìm số nghiệm Để tìm số nghiệm của phương trình $ |x| + |x - 1| = m $, ta sẽ xét giá trị của $ m $: 1. **Khi $ m < 1 $**: - Đồ thị $ y = |x| + |x - 1| $ không bao giờ cắt đường thẳng $ y = m $ vì giá trị nhỏ nhất của hàm này là 1. Vậy, số nghiệm là **0**. 2. **Khi $ m = 1 $**: - Đồ thị cắt đường thẳng $ y = 1 $ tại $ x = 0 $ và $ x = 1 $. Vậy, số nghiệm là **2**. 3. **Khi $ m > 1 $**: - Nếu $ m $ nằm trong khoảng $ (1, +\infty) $: - Đường thẳng $ y = m $ sẽ cắt đoạn thẳng $ y = -2x + 1 $ (nếu cắt tại $ x < 0 $) và cắt đoạn thẳng $ y = 2x - 1 $ (nếu cắt tại $ x \geq 1 $). Mỗi đoạn thẳng này đều có 1 nghiệm, nên tổng cộng có **2 nghiệm**. Tóm lại: - Nếu $ m < 1 $: **0 nghiệm** - Nếu $ m = 1 $: **2 nghiệm** - Nếu $ m > 1 $: **2 nghiệm** ### Kết luận Số nghiệm của phương trình $ |x| + |x - 1| = m $ phụ thuộc vào giá trị của $ m $: - **0 nghiệm** khi $ m < 1 $ - **2 nghiệm** khi $ m \geq 1 $

Anh Trí · Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Xét hàm số: $y = |x| + |x - 1|$

Với $x < 0$: $y = -x - (x - 1) = -2x + 1$

Với $0 \le x \le 1$: $y = x - (x - 1) = 1$

Với $x > 1$: $y = x + (x - 1) = 2x - 1$

Số nghiệm của phương trình $|x| + |x - 1| = m$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $y = |x| + |x - 1|$ và đường thẳng $y = m$.

Dựa vào đồ thị, ta có biện luận:

- Với $m < 1$: Phương trình vô nghiệm.

- Với $m = 1$: Phương trình có vô số nghiệm thỏa mãn $0 \le x \le 1$.

- Với $m > 1$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$