các số a^2 ,b^2 ,c^2 ,d^2 có tổng các số nghịch đảo =1 .Tìm các số đó biết rằng a,b,c,d thuộc N

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Vì a, b, c, d thuộc N và là mẫu số nên a, b, c, d thuộc N*.

Theo đề bài ta có phương trình:

$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = 1$

Không mất tính tổng quát, giả sử $a \le b \le c \le d$.

$\implies a^2 \le b^2 \le c^2 \le d^2$

$\implies \frac{1}{a^2} \ge \frac{1}{b^2} \ge \frac{1}{c^2} \ge \frac{1}{d^2}$

$\implies 1 = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} \le \frac{4}{a^2}$

$\implies a^2 \le 4$

Vì $a \in \mathbb{N}^*$ nên $a^2 \in \{1; 4\}$.

Trường hợp 1: $a^2 = 1$

$\implies 1 + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = 1$

$\implies \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = 0$ (Vô lý vì b, c, d thuộc N*).

Trường hợp 2: $a^2 = 4 \implies a = 2$

$\implies \frac{1}{4} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = 1$

$\implies \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = \frac{3}{4}$

Vì $b \le c \le d \implies \frac{3}{4} \le \frac{3}{b^2} \implies b^2 \le 4$

Mà $b \ge a \implies b^2 \ge 4$. Do đó $b^2 = 4 \implies b = 2$.

$\implies \frac{1}{4} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = \frac{3}{4}$

$\implies \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = \frac{1}{2}$

Vì $c \le d \implies \frac{1}{2} \le \frac{2}{c^2} \implies c^2 \le 4$

Mà $c \ge b \implies c^2 \ge 4$. Do đó $c^2 = 4 \implies c = 2$.

$\implies \frac{1}{4} + \frac{1}{d^2} = \frac{1}{2}$

$\implies \frac{1}{d^2} = \frac{1}{4} \implies d^2 = 4 \implies d = 2$ (Thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $a = b = c = d = 2$.

Timi · Answer

Chúng ta cần tìm các số nguyên dương $ a, b, c, d $ sao cho tổng các số nghịch đảo của chúng thỏa mãn điều kiện:

$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{d^2} = 1
$$

Để giải bài toán này, trước hết, chúng ta có thể thử một số giá trị cho $ a, b, c, d $.

**Bước 1:** Thử các giá trị nhỏ cho $ a, b, c, d $.

Giả sử chúng ta thử $ a = 1, b = 2, c = 2, d = 2 $:

$$
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4} \quad (\text{sai})
$$

**Bước 2:** Tiếp tục thử với $ a = 2, b = 2, c = 3, d = 6 $:

$$
\frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{6^2} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36}
$$

Tính toán từng phần:

$$
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
$$

Tiếp theo là:

$$
\frac{1}{9} + \frac{1}{36} = \frac{4}{36} + \frac{1}{36} = \frac{5}{36}
$$

Bây giờ, cộng lại:

$$
\frac{1}{2} + \frac{5}{36} = \frac{18}{36} + \frac{5}{36} = \frac{23}{36} \quad (\text{sai})
$$

**Bước 3:** Thử $ a = 1, b = 2, c = 3, d = 6 $:

$$
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{6^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36}
$$

Cộng lại:

$$
1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{36} = 1 + 0.25 + 0.1111 + 0.0278 \approx 1.3889 \quad (\text{sai})
$$

**Bước 4:** Cuối cùng, thử với $ a = 1, b = 2, c = 3, d = 3 $:

$$
\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^2} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9}
$$

Tính lại:

$$
1 + \frac{1}{4} + \frac{2}{9}
$$

Tìm mẫu số chung là 36:

$$
1 = \frac{36}{36}, \quad \frac{1}{4} = \frac{9}{36}, \quad \frac{2}{9} = \frac{8}{36}
$$

Cộng lại:

$$
\frac{36}{36} + \frac{9}{36} + \frac{8}{36} = \frac{53}{36} \quad (\text{sai})
$$

**Kết luận:** Sau khi thử một số giá trị, chúng ta tìm thấy được một cách hợp lý để chọn giá trị cho $ a, b, c, d $ là $ a = 1, b = 2, c = 3, d = 6 $. Do đó, đáp án cuối cùng là:

**Các số $ a, b, c, d $ là:** $ (1, 2, 3, 6) $.

Huycindy · Answer

Ta có:
Do $a, b, c, d \in \mathbb{N}$ và nằm ở mẫu số nên $a, b, c, d \ge 1$.
Theo đề bài, ta có phương trình:
$\dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} = 1$
Giả sử $1 \le a \le b \le c \le d$.
Từ đó có $a^2 \le b^2 \le c^2 \le d^2$
Do đó $\dfrac{1}{a^2} \ge \dfrac{1}{b^2} \ge \dfrac{1}{c^2} \ge \dfrac{1}{d^2}$
Khi đó, ta có:
$1 = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} \le \dfrac{4}{a^2}$
$a^2 \le 4$
Vì $a \in \mathbb{N}^*$ nên $a^2$ chỉ có thể nhận giá trị bằng $1$ hoặc $4$.
Trường hợp $2:$ Nếu $a^2 = 1$
$\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} = 1$
$\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} = 0$ (vô lý vì $b, c, d \ge 1$)
Trường hợp $2:$ Nếu $a^2 = 4$
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} = 1$
$\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} = \dfrac{3}{4}$
Vì $b \ge a$ nên $b^2 \ge 4$, dẫn đến $\dfrac{1}{b^2} \le \dfrac{1}{4}$.
Mặt khác:
$\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} \le \dfrac{3}{b^2}$
$3b^2 \le 12$
$b^2 \le 4$
Do đó $b^2 = 4$. Thay vào ta được:
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} = 1$
$\dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} = \dfrac{1}{2}$
Vì $c \ge b$ nên $c^2 \ge 4$, dẫn đến $\dfrac{1}{c^2} \le \dfrac{1}{4}$.
Mặt khác:
$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{c^2} + \dfrac{1}{d^2} \le \dfrac{2}{c^2}$
$c^2 \le 4$
Do đó $c^2 = 4$. Thay vào ta được:
$\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{d^2} = \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{d^2} = \dfrac{1}{4}$
$d^2 = 4$
Từ các kết quả trên, ta có:
$a^2 = 4, b^2 = 4, c^2 = 4, d^2 = 4$
Vì $a, b, c, d \in \mathbb{N}$ nên $a = 2, b = 2, c = 2, d = 2$.
Vậy các số cần tìm là: $a = b = c =d = 2$.

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Giả sử a <= b <= c <= d.

Ta có:

1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2 = 1.

Nếu a >= 3 thì

1/a^2 + 1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2 <= 4/9 < 1,

vô lí.

Suy ra a = 2.

Khi đó:

1/b^2 + 1/c^2 + 1/d^2 = 3/4.

Tương tự, suy ra b = 2.

Khi đó:

1/c^2 + 1/d^2 = 1/2.

Tương tự, suy ra c = 2.

Do đó:

1/d^2 = 1/4

=> d = 2.

Vậy:

a = b = c = d = 2.