Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Ta có:

$M = a^2 + ab + b^2 - 3a - 3b + 2001$

$4M = 4a^2 + 4ab + 4b^2 - 12a - 12b + 8004$

$4M = (4a^2 + 4ab + b^2) - 6(2a + b) + 9 + 3b^2 - 6b + 3 + 7992$

$4M = [(2a + b)^2 - 2(2a + b) \cdot 3 + 3^2] + 3(b^2 - 2b + 1) + 7992$

$4M = (2a + b - 3)^2 + 3(b - 1)^2 + 7992$

$M = \frac{(2a + b - 3)^2}{4} + \frac{3(b - 1)^2}{4} + 1998$

Vì $\frac{(2a + b - 3)^2}{4} \geq 0$ và $\frac{3(b - 1)^2}{4} \geq 0$ với mọi $a, b$

$\implies M \geq 1998$

Dấu "=" xảy ra khi:

$\begin{cases} b - 1 = 0 \ 2a + b - 3 = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} a = 1 \ b = 1 \end{cases}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1998 khi $a = 1, b = 1$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ M = a^2 + ab + b^2 - 3a - 3b + 2001 $, ta sẽ hoàn thành bình phương cho phần $ a $ và $ b $.

Bước 1: Nhóm các hạng tử liên quan đến $ a $ và $ b $:

$$
M = (a^2 - 3a) + (b^2 - 3b) + ab + 2001
$$

Bước 2: Hoàn thành bình phương cho $ a $ và $ b $:

$$
a^2 - 3a = (a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}
$$
$$
b^2 - 3b = (b - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}
$$

Thay vào biểu thức:

$$
M = \left( (a - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \right) + \left( (b - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} \right) + ab + 2001
$$

Bước 3: Sắp xếp lại:

$$
M = (a - \frac{3}{2})^2 + (b - \frac{3}{2})^2 + ab + 2001 - \frac{9}{2}
$$

Bước 4: Để $ M $ đạt giá trị nhỏ nhất, chúng ta cần nghiên cứu thêm về $ ab $. Gọi $ x = a - \frac{3}{2} $ và $ y = b - \frac{3}{2} $. Khi đó $ a = x + \frac{3}{2} $ và $ b = y + \frac{3}{2} $.

Thay vào $ ab $:

$$
ab = (x + \frac{3}{2})(y + \frac{3}{2}) = xy + \frac{3}{2}(x + y) + \frac{9}{4}
$$

Bước 5: Thay vào biểu thức $ M $:

$$
M = x^2 + y^2 + xy + 2001 - \frac{9}{2} + \frac{3}{2}(x + y) + \frac{9}{4}
$$

Bước 6: Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ M $, ta sử dụng đạo hàm hoặc phương pháp khác, nhưng dễ nhận thấy rằng biểu thức có dạng parabol.

Bước 7: Xét trường hợp đặc biệt $ a = b = \frac{3}{2} $, khi đó:

$$
M = (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot \frac{3}{2} - 3 \cdot \frac{3}{2} + 2001
$$

Tính toán:

$$
= \frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - \frac{9}{2} + 2001
$$
$$
= \frac{27}{4} - \frac{18}{4} + 2001
$$
$$
= \frac{27 - 18}{4} + 2001 = \frac{9}{4} + 2001 = 2001 + 2.25 = 2003.25
$$

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của $ M $ là $ 2003.25 $ và nó đạt được khi $ a = b = \frac{3}{2} $.

**Kết luận:**

Giá trị nhỏ nhất của $ M $ là $ 2003.25 $ khi $ a = b = \frac{3}{2} $.

Huycindy · Answer

Ta có:
$M = a^2 + a(b - 3) + b^2 - 3b + 2001$
$M = \left[ a^2 + 2a \cdot \dfrac{b - 3}{2} + \left( \dfrac{b - 3}{2} ight)^2 ight] - \left( \dfrac{b - 3}{2} ight)^2 + b^2 - 3b + 2001$
$M = \left( a + \dfrac{b - 3}{2} ight)^2 - \dfrac{b^2 - 6b + 9}{4} + b^2 - 3b + 2001$
$M = \left( a + \dfrac{b - 3}{2} ight)^2 + \dfrac{3b^2 - 6b + 7995}{4}$
$M = \left( a + \dfrac{b - 3}{2} ight)^2 + \dfrac{3(b^2 - 2b + 1) + 7992}{4}$
$M = \left( a + \dfrac{b - 3}{2} ight)^2 + \dfrac{3(b - 1)^2}{4} + 1998$
Vì $\left( a + \dfrac{b - 3}{2} ight)^2 \ge 0$ $\forall a, b$ và $\dfrac{3(b - 1)^2}{4} \ge 0$ $\forall b$
Nên $M \ge 1998$ $\forall a, b$
Dấu $=$ xảy ra khi và chỉ khi:
$\begin{cases} b - 1 = 0 \ a + \dfrac{b - 3}{2} = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} b = 1 \ a + \dfrac{1 - 3}{2} = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} b = 1 \ a = 1 \end{cases}$
Vậy min của $M$ là $1998$ khi $a = b = 1$.

Little Wolf / QC · Answer

{"userId":5385505,"userName":"ft. Hoàng"}

Ta có:

M = a^2 + ab + b^2 - 3a - 3b + 2001

= (a^2 + ab + b^2)

- 2(a + b) - (a + b) + 2001

= 1/2[(a - b)^2 + (a + b)^2]

- 2(a + b) - (a + b) + 2001

= 1/2(a - b)^2

+ 1/2(a + b - 2)^2

+ 1999.

Vì

1/2(a - b)^2 >= 0,

1/2(a + b - 2)^2 >= 0

nên

M >= 1999.

Dấu "=" xảy ra khi

a - b = 0,

a + b - 2 = 0

⇔ a = b = 1.

Vậy:

M nhỏ nhất bằng 1999 khi a = b = 1.