Giúp mình với! Bài 24: Cho các biểu thức $A=\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+2}-\frac{\sqrt x+2}{x-4}-\frac1{2-\sqrt x}$ và $B=\frac{\sqrt x+2}{\sqrt x+1}$ với $x\geq0,~x
e4$,a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x=100$,b) Chứng minh biểu thức $A=\frac{2\sqrt x}{\sqrt x+2}$,c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để biểu thức 3M có giá trị là một số nguyên với,$M=A.B$

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

Đặt $t=\sqrt{x}\ge 0,\ t
e 2$.

a) Với $x=100\Rightarrow t=10$.
$B=\frac{t+2}{t+1}=\frac{10+2}{10+1}=\frac{12}{11}.$

b) Ta có:
$A=\frac{2t}{t+2}-\frac{t+2}{t^2-4}-\frac{1}{2-t}$

$=\frac{2t}{t+2}-\frac{1}{t-2}+\frac{1}{t-2}$
$=\frac{2t}{t+2}$
$=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}.$

c) 
$M=A\cdot B=\frac{2t}{t+2}\cdot\frac{t+2}{t+1}=\frac{2t}{t+1}.$

$3M=\frac{6t}{t+1}=6-\frac{6}{t+1}.$

Để $3M\in\mathbb{Z}$ thì $\frac{6}{t+1}\in\mathbb{Z}$.
Vì $t+1\ge 1$ và $t+1\mid 6$, suy ra:
$t+1\in\{1,2,3,6\}\Rightarrow t\in\{0,1,2,5\}.$

Do $t
e2$, ta có $t\in\{0,1,5\}\Rightarrow x\in\{0,1,25\}$.

Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $x$ là $\boxed{25}$.

Timi · Answer

Chúng ta sẽ giải từng phần của bài toán.

### a) Tính giá trị của biểu thức B khi $x = 100$

Biểu thức $B$ được định nghĩa là:

$$
B = \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}
$$

Khi $x = 100$:

$$
\sqrt{100} = 10
$$

Thay vào biểu thức $B$:

$$
B = \frac{10 + 2}{10 + 1} = \frac{12}{11}
$$

Vậy giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 100$ là:

$$
\frac{12}{11}
$$

### b) Chứng minh biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$

Chúng ta có biểu thức $A$ như sau:

$$
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x - 4} - \frac{1}{2 - \sqrt{x}}
$$

Để chứng minh $A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$, trước tiên chúng ta sẽ tính giá trị của từng phần của biểu thức $A$.

1. Tính $\frac{\sqrt{x} + 2}{x - 4}$:

Khi $x \neq 4$, ta có thể viết:

$$
\frac{\sqrt{x} + 2}{x - 4} = \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 2}
$$

2. Tính $\frac{1}{2 - \sqrt{x}}$:

$\frac{1}{2 - \sqrt{x}} = -\frac{1}{\sqrt{x} - 2}$

Thay vào biểu thức $A$:

$$
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2} - \left(-\frac{1}{\sqrt{x} - 2}\right)
$$

Ta có:

$$
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} - \frac{1}{\sqrt{x} - 2} + \frac{1}{\sqrt{x} - 2}
$$

Vậy:

$$
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}
$$

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng:

$$
A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}
$$

### c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $x$ để biểu thức $M$ có giá trị là một số nguyên với $M = A \cdot B$

Biểu thức $M$ được tính như sau:

$$
M = A \cdot B = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 1}
$$

Rút gọn $M$:

$$
M = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}
$$

Để $M$ là một số nguyên, $\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$ phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là $\sqrt{x}$ phải là một số nguyên. Gọi $\sqrt{x} = k$ (với $k$ là số nguyên), thì $x = k^2$. Ta cần:

$$
M = \frac{2k}{k + 1}
$$

M để là số nguyên, nghĩa là $k + 1$ phải chia hết cho $2k$, tức là:

$$
2k \mod (k + 1) = 0
$$

Tính giá trị lớn nhất của $k$ thỏa mãn điều kiện trên. Ta có thể thử các giá trị của $k$:

- Nếu $k = 1$: $M = \frac{2 \cdot 1}{1 + 1} = 1$ (Nguyên)
- Nếu $k = 2$: $M = \frac{2 \cdot 2}{2 + 1} = \frac{4}{3}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 3$: $M = \frac{2 \cdot 3}{3 + 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 4$: $M = \frac{2 \cdot 4}{4 + 1} = \frac{8}{5}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 5$: $M = \frac{2 \cdot 5}{5 + 1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 6$: $M = \frac{2 \cdot 6}{6 + 1} = \frac{12}{7}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 7$: $M = \frac{2 \cdot 7}{7 + 1} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 8$: $M = \frac{2 \cdot 8}{8 + 1} = \frac{16}{9}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 9$: $M = \frac{2 \cdot 9}{9 + 1} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$ (Không nguyên)

Tiếp tục với giá trị lớn hơn:

- Nếu $k = 10$: $M = \frac{20}{11}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 11$: $M = \frac{22}{12} = \frac{11}{6}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 12$: $M = \frac{24}{13}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 13$: $M = \frac{26}{14} = \frac{13}{7}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 14$: $M = \frac{28}{15}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 15$: $M = \frac{30}{16} = \frac{15}{8}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 16$: $M = \frac{32}{17}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 17$: $M = \frac{34}{18} = \frac{17}{9}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 18$: $M = \frac{36}{19}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 19$: $M = \frac{38}{20} = \frac{19}{10}$ (Không nguyên)
- Nếu $k = 20$: $M = \frac{40}{21}$ (Không nguyên)

Có vẻ như $M$ chỉ có giá trị nguyên cho $k = 1$. Do đó:

Giá trị nguyên lớn nhất của $x$ để $M$ là số nguyên là:

$$
x = 1^2 = 1
$$

**Kết luận:**
- a) $B = \frac{12}{11}$
- b) $A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 2}$
- c) Giá trị nguyên lớn nhất của $x$ là $1$.

Huycindy · Answer

$a)$ Thay $x = 100$ vào biểu thức $B$:
$B = \dfrac{\sqrt{100}+2}{\sqrt{100}+1}$
$B = \dfrac{10+2}{10+1}$
$B = \dfrac{12}{11}$
Vậy giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 100$ là $\dfrac{12}{11}$.
$b)$
$A = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} - \dfrac{\sqrt{x}+2}{x-4} - \dfrac{1}{2-\sqrt{x}} \quad (x \geq 0, x 
eq 4)$
$A = \dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} - \dfrac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} + \dfrac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$A = \dfrac{2x - 4\sqrt{x} - \sqrt{x} - 2 + \sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$A = \dfrac{2x - 4\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$A = \dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$
$A = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$
Vậy $A = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$.
$c)$ Ta có $M = A . B$
$M = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} . \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}$
$M = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$
$3M = \dfrac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$
$3M = \dfrac{6(\sqrt{x}+1)-6}{\sqrt{x}+1}$
$3M = 6 - \dfrac{6}{\sqrt{x}+1}$
Vì $x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 1 \geq 1$
$\Rightarrow \dfrac{6}{\sqrt{x}+1} \leq 6$
$\Rightarrow 3M \geq 0$
Mặt khác, do $\dfrac{6}{\sqrt{x}+1} > 0 \Rightarrow 3M < 6$
$\Rightarrow 0 \leq 3M < 6$
Để $3M$ nhận giá trị là một số nguyên lớn nhất thì $3M = 5$
$6 - \dfrac{6}{\sqrt{x}+1} = 5$
$\dfrac{6}{\sqrt{x}+1} = 1$
$\sqrt{x} + 1 = 6$)
$\sqrt{x} = 5$
$x = 25$
Vậy giá trị nguyên lớn nhất của $x$ cần tìm là $25$.

SILYMUKI · Answer

{"userId": 5430226, "userName": "Chí Đức Phạm "}

LỜI GIẢI THÍCH CHI TIẾT TRONG HÌNH:

tam??????? · Answer

Cho hai biểu thức:$A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} - \frac{\sqrt{x}+2}{x-4} - \frac{1}{2-\sqrt{x}}$ và $B = \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}$ với $x \geq 0, x \neq 4$.a) Tính giá trị của biểu thức $B$ khi $x = 100$Thay $x = 100$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $B$:$B=\frac{\sqrt{100}+2}{\sqrt{100}+1}=\frac{10+2}{10+1}=\frac{12}{11}$b) Chứng minh biểu thức $A = \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$Ta có: $x - 4 = (\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)$ và $2-\sqrt{x} = -(\sqrt{x}-2)$.Quy đồng mẫu thức cho $A$:$A=\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)-(\sqrt{x}+2)+(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$A=\frac{2x-4\sqrt{x}-\sqrt{x}-2+\sqrt{x}+2}{x-4}$$A=\frac{2x-4\sqrt{x}}{x-4}=\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}$$A=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\text{\ (Điu\ phi\ chng\ minh)}$c) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của $x$ để $3M$ là số nguyên với $M = A \cdot B$Trước hết, ta tìm biểu thức $M$:$M=A\cdot B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}\cdot \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$Xét biểu thức $3M$:$3M=\frac{6\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}=\frac{6(\sqrt{x}+1)-6}{\sqrt{x}+1}=6-\frac{6}{\sqrt{x}+1}$Để $3M$ là một số nguyên thì $\frac{6}{\sqrt{x}+1}$ phải là số nguyên.$\Rightarrow (\sqrt{x}+1)$ phải là ước của $6$. Vì $\sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+1 \geq 1$.Các ước dương của $6$ là: $\{1; 2; 3; 6\}$.$\sqrt{x}+1 = 1 \Rightarrow \sqrt{x} = 0 \Rightarrow x = 0$ (thỏa mãn)$\sqrt{x}+1 = 2 \Rightarrow \sqrt{x} = 1 \Rightarrow x = 1$ (thỏa mãn)$\sqrt{x}+1 = 3 \Rightarrow \sqrt{x} = 2 \Rightarrow x = 4$ (loại vì điều kiện $x \neq 4$)$\sqrt{x}+1 = 6 \Rightarrow \sqrt{x} = 5 \Rightarrow x = 25$ (thỏa mãn)Kết luận: Giá trị nguyên lớn nhất của $x$ để $3M$ nguyên là $x = 25$.