Tìm GTNN của biểu thức $D=2x^2+3x+4$

Question

Ninh Hoàng · Accepted Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

$$D=2x^2+3x+4$$

$$=2.\left(x^2+2.x.\frac{3}{4}+\frac{9}{16}\right)+4-\frac{9}{8}$$

$$=2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2+\frac{23}{8}$$

Vì $$2\left(x+\frac{3}{4}\right)^2\ge0\forall x$$ nên $$D\ge\frac{23}{8}$$

Dấu "=" xảy ra khi: $$x+\frac{3}{4}=0$$ hay $$x=-\frac{3}{4}$$

Vậy $$\min D=\frac{23}{8}$$ tại $$x=-\frac{3}{4}.$$

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức bậc hai $ D = 2x^2 + 3x + 4 $, chúng ta có thể sử dụng công thức tính giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai.

Biểu thức bậc hai có dạng $ ax^2 + bx + c $ với $ a = 2 $, $ b = 3 $ và $ c = 4 $. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai này xảy ra tại điểm $ x = -\frac{b}{2a} $.

1. Tính $ x $:
   $$
   x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{2 \times 2} = -\frac{3}{4}
   $$

2. Tính $ D $ tại $ x = -\frac{3}{4} $:
   $$
   D\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 4
   $$

Tính $ \left(-\frac{3}{4}\right)^2 $:
   $$
   \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}
   $$

Thay vào biểu thức $ D $:
   $$
   D\left(-\frac{3}{4}\right) = 2 \cdot \frac{9}{16} + 3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + 4
   $$
   $$
   = \frac{18}{16} - \frac{9}{4} + 4
   $$

Đổi $ -\frac{9}{4} $ và $ 4 $ thành mẫu số chung là 16:
   $$
   -\frac{9}{4} = -\frac{36}{16}, \quad 4 = \frac{64}{16}
   $$

Thay vào tính toán:
   $$
   D\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{18}{16} - \frac{36}{16} + \frac{64}{16} = \frac{18 - 36 + 64}{16} = \frac{46}{16} = \frac{23}{8}
   $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ D = 2x^2 + 3x + 4 $ là:
$$
\boxed{\frac{23}{8}}
$$

Huycindy · Answer

$D = 2x^2 + 3x + 4$
$D = 2\left(x^2 + 2 . x . \dfrac{3}{4} + \dfrac{9}{16}\right) + \dfrac{23}{8}$
$D = 2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{23}{8}$
Vì $2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 \geq 0$ $\forall x$
Nên $D = 2\left(x + \dfrac{3}{4}\right)^2 + \dfrac{23}{8} \geq \dfrac{23}{8}$ $\forall x$
Dấu "=" xảy ra khi: $x + \dfrac{3}{4} = 0$ hay $x = -\dfrac{3}{4}$
Vậy $\min D$ là $\dfrac{23}{8}$ khi $x = -\dfrac{3}{4}$

tam??????? · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

1. Biến đổi về dạng bình phương thiếu:Ta tách biểu thức để xuất hiện hằng đẳng thức $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:$D=2\left(x^{2}+\frac{3}{2}x+2\right)$$D=2\left[x^{2}+2\cdot x\cdot \frac{3}{4}+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}-\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+2\right]$$D=2\left[\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}+\frac{32}{16}\right]$$D=2\left[\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{23}{16}\right]$$D=2\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{23}{8}$2. Đánh giá:Vì $\left( x + \frac{3}{4} \right)^2 \ge 0$ với mọi $x$, nên:$2\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{23}{8}\ge \frac{23}{8}$3. Kết luận:Giá trị nhỏ nhất của $D$ là $\frac{23}{8}$ (hay $2,875$).Dấu "=" xảy ra khi $x + \frac{3}{4} = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{3}{4}$.