Tìm GTLN của biểu thức $7)~P=2x-2x^2-5;$

Question

Vu Nguyen · Accepted Answer

$\displaystyle P = -2x^2 + 2x - 5 = -2\left(x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right) - 5 = -2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{9}{2}$

$\displaystyle -2\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \le 0 \Rightarrow P \le -\frac{9}{2}$

$\displaystyle \Rightarrow P_{\max} = -\frac{9}{2} \iff x = \frac{1}{2}$

Timi · Answer

Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức $ P = 2x - 2x^2 - 5 $, ta sẽ làm theo các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của biểu thức**:
   Ta tính đạo hàm $ P&#x27; $ theo $ x $:

$$
   P&#x27; = \frac{d}{dx}(2x - 2x^2 - 5) = 2 - 4x
   $$

2. **Tìm điểm cực trị**:
   Để tìm điểm cực trị, ta đặt đạo hàm bằng 0:

$$
   2 - 4x = 0
   $$

Giải phương trình trên, ta có:

$$
   4x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2}
   $$

3. **Kiểm tra tính chất của điểm cực trị**:
   Ta tính đạo hàm bậc hai để xác định tính chất của điểm cực trị:

$$
   P&#x27;&#x27; = \frac{d^2}{dx^2}(2x - 2x^2 - 5) = -4
   $$

Vì $ P&#x27;&#x27; < 0 $, điểm $ x = \frac{1}{2} $ là điểm cực đại.

4. **Tính giá trị của biểu thức tại điểm cực đại**:
   Ta thay $ x = \frac{1}{2} $ vào biểu thức $ P $:

$$
   P\left(\frac{1}{2}\right) = 2\left(\frac{1}{2}\right) - 2\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 5
   $$

Tính từng phần:

$$
   = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} - 5
   $$
   $$
   = 1 - \frac{1}{2} - 5
   $$
   $$
   = \frac{1}{2} - 5
   $$
   $$
   = \frac{1}{2} - \frac{10}{2} = -\frac{9}{2}
   $$

Vậy giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức $ P $ là

$$
\boxed{-\frac{9}{2}}.
$$

Ninh Hoàng · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

$$P=2x-2x^2-5$$

$$=-2\left(x^2-x\right)-5$$

$$=-2\left(x^2-2.x.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\right)-5$$

$$=-2\left\lbrack\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\right\rbrack-5$$

$$=-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{9}{2}$$

Vì $$-2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le0\forall x$$ nên $$P\le-\frac{9}{2}$$

Vậy $$\max P=-\frac{9}{2}$$ khi $$x=\frac{1}{2}.$$

SILYMUKI · Answer

{"userId": 5444935, "userName": "24251012 "}
Lời giải thích chi tiết:

Huycindy · Answer

$P = 2x - 2x^2 - 5$
$P = -2x^2 + 2x - 5$
$P = -2\left(x^2 - x + \dfrac{1}{4}\right) - \dfrac{9}{2}$
$P = -2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{9}{2}$
Vì $-2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)^2 \le 0$ $\forall x$
Nên $P \le -\dfrac{9}{2}$ $\forall x$
Dấu "=" xảy ra khi $x = \dfrac{1}{2}$
Vậy $\max P = -\dfrac{9}{2}$ tại $x = \dfrac{1}{2}$