Giúp mình với! Bài 4. Cho hình bên, biết $AB=CD.$,Chứng minh rằng:,,$a)~MH=MK.$,$b)~MB=MD.$,c) Chứng minh tứ giác ABDC là hình,thang cân.

Question

Giúp mình với! Bài 4. Cho hình bên, biết $AB=CD.$,Chứng minh rằng:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/dev/public/illustration_images/9721cc019a634d18b2eb7461ca621a09.jpg />,$a)~MH=MK.$,$b)~MB=MD.$,c) Chứng minh tứ giác ABDC là hình,thang cân.

Vu Nguyen · Accepted Answer

a) Vì $AB = CD \Rightarrow OH = OK$.
Xét $	riangle OHM$ ($\widehat{OHM} = 90^\circ$) và $	riangle OKM$ ($\widehat{OKM} = 90^\circ$):
* $OM$ là cạnh huyền chung.
* $OH = OK$
$\Rightarrow 	riangle OHM = 	riangle OKM \Rightarrow MH = MK$.

b) Vì $OH \perp AB \Rightarrow H$ là trung điểm $AB \Rightarrow HB = \frac{AB}{2}$.
Vì $OK \perp CD \Rightarrow K$ là trung điểm $CD \Rightarrow KD = \frac{CD}{2}$.
Mà $AB = CD \Rightarrow HB = KD$.
Ta có:
$MB = MH - HB$
$MD = MK - KD$
Do $MH = MK$ và $HB = KD \Rightarrow MB = MD$.

c) Ta có:
$MA = MB + AB$
$MC = MD + CD$
Mà $MB = MD$ và $AB = CD \Rightarrow MA = MC \Rightarrow 	riangle MAC$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MCA}$.

Xét $	riangle MBD$ có $MB = MD \Rightarrow 	riangle MBD$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MBD} = \frac{180^\circ - \widehat{M}}{2}$.
Mặt khác $\widehat{MAC} = \frac{180^\circ - \widehat{M}}{2}$.
$\Rightarrow \widehat{MBD} = \widehat{MAC} \Rightarrow BD \parallel AC$.

Tứ giác $ABDC$ có $BD \parallel AC \Rightarrow ABDC$ là hình thang.
Hình thang $ABDC$ có $\widehat{MAC} = \widehat{MCA} \Rightarrow ABDC$ là hình thang cân.

Timi · Answer

Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần một.

**a) Chứng minh rằng $ MH = MK $**

Gọi $ O $ là giao điểm của đường thẳng $ AC $ và đường thẳng $ BD $. Khi đó, $ M $ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB $ và $ N $ là trung điểm của đoạn thẳng $ CD $.

Theo giả thiết, $ AB = CD $ và $ M, N $ là các trung điểm. Do đó, ta có:
$$
AM = MB \quad \text{và} \quad CN = ND
$$
Vì $ M $ và $ N $ là trung điểm nên:
$$
AM = MB = \frac{1}{2} AB \quad \text{và} \quad CN = ND = \frac{1}{2} CD
$$
Vì $ AB = CD $ nên ta có $ AM = CN $. Như vậy, tam giác $ AMO $ và tam giác $ CNO $ sẽ có:
- $ AM = CN $
- $ AO = CO $ (vì $ O $ là giao điểm)
- $ OM = ON $ (vì $ M $ và $ N $ nằm trên đường chéo)

Sử dụng tiêu chí bằng nhau của tam giác, ta có:
$$
\triangle AMO \cong \triangle CNO
$$
Suy ra $ MH = MK $.

**b) Chứng minh rằng $ MB = MD $**

Từ kết quả ở phần a), ta đã có $ MH = MK $.

Để chứng minh $ MB = MD $, ta sẽ sử dụng hình chiếu. Ta có:
- Hình chiếu của $ B $ trên đường thẳng $ CD $ là $ M $.
- Hình chiếu của $ D $ trên đường thẳng $ AB $ cũng là $ M $ do tính chất đối xứng của hình thang.

Từ đây, ta có $ MB $ và $ MD $ đều là khoảng cách từ điểm $ M $ đến hai điểm trên cùng một đường thẳng $ AB $ và $ CD $. Do đó, ta có:
$$
MB = MD
$$

**c) Chứng minh tứ giác $ ABDC $ là hình thang cân.**

Để chứng minh tứ giác $ ABDC $ là hình thang cân, ta cần chứng minh rằng hai cạnh đối diện $ AB $ và $ CD $ song song với nhau.

Từ giả thiết $ AB = CD $ và các chứng minh trước đó, ta đã có $ MH = MK $ và $ MB = MD $.

Do đó, trong hình thang $ ABDC $:
- $ AB $ song song với $ CD $
- Hai cạnh bên $ AD $ và $ BC $ là bằng nhau (do đối xứng của các trung điểm $ M $ và $ N $).

Vậy tứ giác $ ABDC $ là hình thang cân.

**Kết luận:**
- $ a)~ MH = MK $
- $ b)~ MB = MD $
- $ c)~ Tứ giác ABDC là hình thang cân. $

Duy Hải · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

a) Trong đường tròn (O) có: AB=CD ; OH ⊥ AB = H ; OK ⊥ CD = K => OH=OK.

Nối OM

Xét tam giác OHM và tam giác OKM, có:

góc H= góc K = $$90\circ$$
OM cạnh chung
OH=OK (cmt)

=> tam giác OHM= tam giác OKM (ch-cgv)

=> MH=MK (đpcm)

b) Xét tam giác OHB vuông tại H và tam giác OKD vuông tại K, có:

OH=OK(cmt)
OB=OD=R

=> tam giác OHB= tam giác OKD (ch-cgv)

=>HB=KD

Ta lại có: HB+BM=HM

KD+DM=KM

Mà HM=KM ( ở câu a)

HB=KD (cmt)

=> MB=MD (đpcm)

c) Ta có: MB=MD => tam giác MBD cân tại M => góc MBD= (180 - góc M)/2

Lại có: MB=MD

AB=CD

=> MB+AB=MD+CD

=> MA=MC

=> tam giác MAC cân tại M=> góc MAC = (180 - góc M)/2

=> góc MBD= góc MAC (2 góc ở vị trí đồng vị )

=> BD//AC

=> ABDC là hình thang có góc MAC = góc MCA (2 góc kề dưới đáy)

=> ABDC là hình thang cân

susuu123 · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

a) Chứng minh $MH = MK$Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:Vì $AB = CD$ (theo giả thiết), nên khoảng cách từ tâm $O$ đến hai dây này là bằng nhau:$OH=OK$Xét hai tam giác vuông:Xét $\triangle OHM$ và $\triangle OKM$ (đều vuông tại $H$ và $K$):Cạnh huyền $OM$ chung.Cạnh góc vuông $OH = OK$ (chứng minh trên).$\Rightarrow \triangle OHM = \triangle OKM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).Kết luận:$\Rightarrow MH=MK\text{\ (hai\ cnh\ tng\ ng).}$b) Chứng minh $MB = MD$Định lý đường kính và dây cung:Vì $OH \perp AB$, nên $H$ là trung điểm của $AB$:$HB=\frac{AB}{2}$Tương tự, vì $OK \perp CD$, nên $K$ là trung điểm của $CD$:$KD=\frac{CD}{2}$So sánh các đoạn thẳng:Mà $AB = CD$ (giả thiết) nên $HB = KD$.Trừ các đoạn thẳng:Ta có:$MB = MH - HB$$MD = MK - KD$Mà $MH = MK$ (câu a) và $HB = KD$ (chứng minh trên).Kết luận:$\Rightarrow MB=MD$c) Chứng minh tứ giác $ABDC$ là hình thang cânChứng minh $AC \parallel BD$ (Hình thang):Xét $\triangle MAC$ có $MB = MD$ và $AB = CD \Rightarrow MA = MC$.$\triangle MAC$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MAC} = \frac{180^\circ - \widehat{M}}{2}$.Tương tự, $\triangle MBD$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MBD} = \frac{180^\circ - \widehat{M}}{2}$.$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MBD}$. Vì hai góc này ở vị trí đồng vị nên $AC \parallel BD$.$\Rightarrow ABDC$ là hình thang.Hình thang cân:Hình thang $ABDC$ ($AC \parallel BD$) có hai cạnh bên $AB = CD$ (theo giả thiết).Trong một hình thang, nếu hai cạnh bên bằng nhau và không song song (chúng cắt nhau tại $M$), thì đó là hình thang cân.Kết luận:Tứ giác $ABDC$ là hình thang cân

tam??????? · Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

a) Chứng minh $MH = MK$Liên hệ giữa dây và khoảng cách đến tâm:Vì $AB = CD$ (theo giả thiết), nên khoảng cách từ tâm $O$ đến hai dây này là bằng nhau:$OH=OK$Xét hai tam giác vuông:Xét $\triangle OHM$ và $\triangle OKM$ (đều vuông tại $H$ và $K$):Cạnh huyền $OM$ chung.Cạnh góc vuông $OH = OK$ (chứng minh trên).$\Rightarrow \triangle OHM = \triangle OKM$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).Kết luận:$\Rightarrow MH=MK\text{\ (hai\ cnh\ tng\ ng).}$b) Chứng minh $MB = MD$Định lý đường kính và dây cung:Vì $OH \perp AB$, nên $H$ là trung điểm của $AB$:$HB=\frac{AB}{2}$Tương tự, vì $OK \perp CD$, nên $K$ là trung điểm của $CD$:$KD=\frac{CD}{2}$So sánh các đoạn thẳng:Mà $AB = CD$ (giả thiết) nên $HB = KD$.Trừ các đoạn thẳng:Ta có:$MB = MH - HB$$MD = MK - KD$Mà $MH = MK$ (câu a) và $HB = KD$ (chứng minh trên).Kết luận:$\Rightarrow MB=MD$c) Chứng minh tứ giác $ABDC$ là hình thang cânChứng minh $AC \parallel BD$ (Hình thang):Xét $\triangle MAC$ có $MB = MD$ và $AB = CD \Rightarrow MA = MC$.$\triangle MAC$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MAC} = \frac{180^\circ - \widehat{M}}{2}$.Tương tự, $\triangle MBD$ cân tại $M \Rightarrow \widehat{MBD} = \frac{180^\circ - \widehat{M}}{2}$.$\Rightarrow \widehat{MAC} = \widehat{MBD}$. Vì hai góc này ở vị trí đồng vị nên $AC \parallel BD$.$\Rightarrow ABDC$ là hình thang.Hình thang cân:Hình thang $ABDC$ ($AC \parallel BD$) có hai cạnh bên $AB = CD$ (theo giả thiết).Trong một hình thang, nếu hai cạnh bên bằng nhau và không song song (chúng cắt nhau tại $M$), thì đó là hình thang cân.Kết luận:Tứ giác $ABDC$ là hình thang cân