cho ΔABC có trung tuyến AM, I là 1 điểm nằm trên đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D.
Nếu AD = 1/2DC. Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB=3AE. CM: BD, CE, AM đồng quy

Question

ESH丶Jee♤ · Accepted Answer

Timi · Answer

Để chứng minh rằng ba đường thẳng BD, CE, và AM đồng quy, ta sẽ sử dụng tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác và định lý Menelaus.

1. **Gọi tỷ lệ**: 
   Ta có $ AD = \frac{1}{2}DC $ nghĩa là $ DC = 2AD $. Gọi $ AD = x $ thì $ DC = 2x $ và $ AC = AD + DC = x + 2x = 3x $.

2. **Xác định điểm E**:
   Điểm E trên cạnh AB sao cho $ AB = 3AE $. Gọi $ AE = y $, thì $ AB = 3y $ và $ EB = AB - AE = 3y - y = 2y $.

3. **Tính tỉ lệ các đoạn**:
   Ta có:
   $$
   \frac{AD}{DC} = \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}
   $$
   $$
   \frac{AE}{EB} = \frac{y}{2y} = \frac{1}{2}
   $$
   Điều này cho thấy rằng tỉ lệ của các đoạn thẳng trên đoạn AC và đoạn AB là bằng nhau.

4. **Áp dụng định lý Menelaus**:
   Theo định lý Menelaus cho tam giác $ ACD $ với đường thẳng $ BDE $, ta có:
   $$
   \frac{AD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{BM}{MD} = 1
   $$
   Từ các tỉ lệ đã xác định, ta có:
   - $ \frac{AD}{DC} = \frac{1}{2} $
   - $ \frac{CE}{EA} = \frac{2y}{y} = 2 $

Từ đó ta có:
   $$
   \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{BM}{MD} = 1 \Rightarrow \frac{BM}{MD} = 1
   $$
   Điều này có nghĩa là $ BM = MD $.

5. **Kết luận**:
   Như vậy, ta có $ BD $, $ CE $ và $ AM $ đồng quy tại một điểm.

Do đó, ta đã chứng minh rằng $ BD, CE, AM $ đồng quy.

cho ΔABC có trung tuyến AM, I là 1 điểm nằm trên đoạn thẳng AM, BI cắt AC ở D. Nếu AD = 1/2DC. Khi đó trên cạnh AB lấy điểm E sao cho AB=3AE. CM: BD, CE, AM đồng quy