Cho đa thức $f(x)= ax^2 + bx+c$ trong đó $a,b,c$ là hệ số. Biết $f(x+1)-f(x)=2x-3.$
Tính giá trị của biểu thức : $P= \dfrac{f(5)-f(2)}{9}$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Ta có:
$f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c$
$f(x+1) = a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c$
$f(x+1) = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c$
Suy ra:
$f(x+1) - f(x) = (ax^2 + 2ax + a + bx + b + c) - (ax^2 + bx + c)$
$f(x+1) - f(x) = 2ax + a + b$
Mà đề bài cho:
$f(x+1) - f(x) = 2x - 3$
Đồng nhất hệ số ta được:
$\begin{cases} 2a = 2 \ a + b = -3 \end{cases}$
$\begin{cases} a = 1 \ 1 + b = -3 \end{cases}$
$\begin{cases} a = 1 \ b = -4 \end{cases}$
Biểu thức $f(5) - f(2)$ là:
$f(5) - f(2) = (a . 5^2 + b . 5 + c) - (a . 2^2 + b . 2 + c)$
$f(5) - f(2) = 25a + 5b + c - 4a - 2b - c$
$f(5) - f(2) = 21a + 3b$
Thay $a = 1$ và $b = -4$ vào biểu thức:
$f(5) - f(2) = 21 . 1 + 3 . (-4)$
$f(5) - f(2) = 21 - 12$
$f(5) - f(2) = 9$
Thay $f(5) - f(2) = 9$ vào biểu thức $P$:
$P = \dfrac{9}{9}=1$

Timi · Answer

Để giải bài toán này, trước tiên ta cần tìm đa thức $ f(x) $ từ phương trình $ f(x+1) - f(x) = 2x - 3 $.

Ta có:
$$
f(x) = ax^2 + bx + c
$$
Do đó, ta tính $ f(x+1) $:
$$
f(x+1) = a(x+1)^2 + b(x+1) + c = a(x^2 + 2x + 1) + b(x + 1) + c = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c
$$
$$
= ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)
$$

Bây giờ ta tính $ f(x+1) - f(x) $:
$$
f(x+1) - f(x) = \left(ax^2 + (2a + b)x + (a + b + c)\right) - \left(ax^2 + bx + c\right)
$$
$$
= (2a + b - b)x + (a + b + c - c) = 2ax + (a + b)
$$

Theo đề bài, ta có:
$$
2ax + (a + b) = 2x - 3
$$

Từ đây ta có hai hệ phương trình:
1. $ 2a = 2 $
2. $ a + b = -3 $

Giải phương trình đầu tiên:
$$
2a = 2 \Rightarrow a = 1
$$

Thay $ a $ vào phương trình thứ hai:
$$
1 + b = -3 \Rightarrow b = -4
$$

Vậy chúng ta có $ a = 1 $ và $ b = -4 $. Để tìm $ c $, chúng ta không có thông tin trực tiếp, nhưng ta có thể chọn một giá trị cho $ c $ vì nó không ảnh hưởng đến $ f(5) - f(2) $.

Giả sử $ c = 0 $, ta có:
$$
f(x) = x^2 - 4x
$$

Bây giờ, tính $ f(5) $ và $ f(2) $:
$$
f(5) = 5^2 - 4 \cdot 5 = 25 - 20 = 5
$$
$$
f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 = 4 - 8 = -4
$$

Tính $ f(5) - f(2) $:
$$
f(5) - f(2) = 5 - (-4) = 5 + 4 = 9
$$

Cuối cùng, tính giá trị của biểu thức $ P $:
$$
P = \frac{f(5) - f(2)}{9} = \frac{9}{9} = 1
$$

Vậy giá trị của biểu thức $ P $ là:
$$
\boxed{1}
$$

Phụng Huỳnh Công · Answer

{"userId": 5444935, "userName": "24251012 "}
BÀI GIẢI CHI TIẾT
Xác định đa thức f(x):
Cho f(x) = ax^2 + bx + c.
Ta có: f(x + 1) = a(x + 1)^2 + b(x + 1) + c
f(x + 1) = a(x^2 + 2x + 1) + bx + b + c
f(x + 1) = ax^2 + 2ax + a + bx + b + c
Sử dụng giả thiết f(x + 1) - f(x) = 2x - 3:
(ax^2 + 2ax + a + bx + b + c) - (ax^2 + bx + c) = 2x - 3
2ax + a + b = 2x - 3
Đồng nhất hệ số:
Để đẳng thức trên đúng với mọi x, các hệ số tương ứng phải bằng nhau:
Hệ số của x: 2a = 2 => a = 1
Hệ số tự do: a + b = -3 => 1 + b = -3 => b = -4
Vậy f(x) = x^2 - 4x + c.
Tính giá trị biểu thức P = [f(5) - f(2)] / 9:
Tính f(5): f(5) = 5^2 - 4*5 + c = 25 - 20 + c = 5 + c
Tính f(2): f(2) = 2^2 - 4*2 + c = 4 - 8 + c = -4 + c
Thay vào P:
P = [(5 + c) - (-4 + c)] / 9
P = (5 + c + 4 - c) / 9
P = 9 / 9
P = 1
Kết luận: Giá trị của biểu thức P là 1.

Cho đa thức $f(x)= ax^2 + bx+c$ trong đó $a,b,c$ là hệ số. Biết $f(x+1)-f(x)=2x-3.$ Tính giá trị của biểu thức : $P= \dfrac{f(5)-f(2)}{9}$