Tìm số nguyên dương n để các biểu thức sau là số chính phương $n^5-n+2$

Question

Huycindy · Accepted Answer

Ta có:
$n^5 - n = n(n - 1)(n + 1)(n^2 + 1)$
Vì $n(n - 1) \vdots 2$ nên $n^5 - n \vdots 2$ với $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
Mặt khác $n^5 - n \vdots 5$ với $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
Do $	ext{UCLN}(2, 5) = 1$ nên $n^5 - n \vdots 10$ với $\forall n \in \mathbb{Z}^+$
$n^5 - n$ có chữ số tận cùng là $0$
$n^5 - n + 2$ có chữ số tận cùng là $2$
Một số chính phương không có chữ số tận cùng là $2$
Vậy không có số nguyên dương $n$ thỏa mãn.

Timi · Answer

Để tìm số nguyên dương $ n $ sao cho biểu thức $ n^5 - n + 2 $ là số chính phương, ta cần xem xét điều kiện này.

Một số chính phương là một số có thể viết dưới dạng $ k^2 $ với $ k $ là số nguyên.

Ta sẽ khảo sát giá trị của biểu thức $ n^5 - n + 2 $ với các giá trị của $ n $:

- **Khi $ n = 1 $**:
  $$
  1^5 - 1 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 2 $**:
  $$
  2^5 - 2 + 2 = 32 - 2 + 2 = 32 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 3 $**:
  $$
  3^5 - 3 + 2 = 243 - 3 + 2 = 242 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 4 $**:
  $$
  4^5 - 4 + 2 = 1024 - 4 + 2 = 1022 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 5 $**:
  $$
  5^5 - 5 + 2 = 3125 - 5 + 2 = 3122 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 6 $**:
  $$
  6^5 - 6 + 2 = 7776 - 6 + 2 = 7772 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 7 $**:
  $$
  7^5 - 7 + 2 = 16807 - 7 + 2 = 16802 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 8 $**:
  $$
  8^5 - 8 + 2 = 32768 - 8 + 2 = 32762 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 9 $**:
  $$
  9^5 - 9 + 2 = 59049 - 9 + 2 = 59042 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

- **Khi $ n = 10 $**:
  $$
  10^5 - 10 + 2 = 100000 - 10 + 2 = 99992 \quad (\text{không phải số chính phương})
  $$

Tiếp tục kiểm tra đến khi tìm được số chính phương, ta nhận thấy rằng giá trị của $ n^5 - n + 2 $ không tạo ra số chính phương trong các trường hợp đã kiểm tra.

Nếu bạn có giá trị cụ thể nào cần kiểm tra hoặc muốn tôi kiểm tra các giá trị lớn hơn, hãy cho tôi biết! Hiện tại, không có số nguyên dương nào $ n $ thỏa mãn điều kiện $ n^5 - n + 2 $ là số chính phương trong các giá trị đã khảo sát.

### Kết luận
Hiện tại chưa tìm thấy số nguyên dương $ n $ nào mà $ n^5 - n + 2 $ là số chính phương trong các giá trị đã kiểm tra.