Tìm GTNN của biểu thức $D=2x^2+3x+4$

Question

-HARRY LƯƠNG THỊN- · Accepted Answer

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ D = 2x^2 + 3x + 4 $, chúng ta sẽ sử dụng công thức tìm giá trị nhỏ nhất của một hàm bậc hai có dạng $ ax^2 + bx + c $ với $ a > 0 $.

Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai xảy ra tại điểm $ x = -\frac{b}{2a} $.

Ở đây, chúng ta có:
- $ a = 2 $
- $ b = 3 $

Áp dụng công thức, ta có:
$$
x = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}
$$

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay giá trị $ x = -\frac{3}{4} $ vào biểu thức $ D $ để tìm giá trị nhỏ nhất:

$$
D\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 4
$$

Tính từng phần:

1. Tính $ \left(-\frac{3}{4}\right)^2 $:
   $$
   \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}
   $$

2. Tính $ 2 \cdot \frac{9}{16} $:
   $$
   2 \cdot \frac{9}{16} = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}
   $$

3. Tính $ 3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) $:
   $$
   3 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{9}{4}
   $$

Bây giờ chúng ta thay thế các giá trị vào biểu thức $ D $:
$$
D\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8} - \frac{9}{4} + 4
$$

Chuyển đổi $ -\frac{9}{4} $ sang mẫu số 8:
$$
-\frac{9}{4} = -\frac{18}{8}
$$
Vậy:
$$
D\left(-\frac{3}{4}\right) = \frac{9}{8} - \frac{18}{8} + \frac{32}{8} = \frac{9 - 18 + 32}{8} = \frac{23}{8}
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ D = 2x^2 + 3x + 4 $ là:
$$
\boxed{\frac{23}{8}}
$$