Tìm GTNN của biểu thức $N=x^2-4xy+5y^2+10x-22y+28$

Question

Huycindy · Accepted Answer

$N = x^2 - 4xy + 4y^2 + 10x - 20y + 25 + y^2 - 2y + 1 + 2$
$N = [(x - 2y)^2 + 2 . 5 . (x - 2y) + 25] + (y^2 - 2y + 1) + 2$
$N = (x - 2y + 5)^2 + (y - 1)^2 + 2$
Vì $(x - 2y + 5)^2 \ge 0 \quad \forall x, y$
$(y - 1)^2 \ge 0 \quad \forall y$
$N \ge 2$
Dấu "=" xảy ra khi:
$\begin{cases} x - 2y + 5 = 0 \ y - 1 = 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x = -3 \ y = 1 \end{cases}$
Vậy $min N = 2$ khi $x = -3, y = 1$

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức $ N = x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y + 28 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Sắp xếp lại biểu thức**:
   Chúng ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến $ x $ và $ y $:
   $$
   N = x^2 - 4xy + 5y^2 + 10x - 22y + 28
   $$

2. **Xem biểu thức như một đa thức bậc hai theo $ x $**:
   Coi $ N $ như là một hàm bậc hai theo $ x $:
   $$
   N = (1)x^2 + (-4y + 10)x + (5y^2 - 22y + 28)
   $$
   Hàm này có dạng $ ax^2 + bx + c $, với $ a = 1 $, $ b = -4y + 10 $, và $ c = 5y^2 - 22y + 28 $.

3. **Tính giá trị nhỏ nhất theo $ x $**:
   Giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai này xảy ra tại:
   $$
   x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4y + 10}{2 \cdot 1} = \frac{4y - 10}{2} = 2y - 5
   $$

4. **Thay giá trị $ x = 2y - 5 $ vào biểu thức $ N $**:
   Thay $ x $ vào $ N $:
   $$
   N = (2y - 5)^2 - 4(2y - 5)y + 5y^2 + 10(2y - 5) - 22y + 28
   $$

Tính từng hạng tử:
   $$
   (2y - 5)^2 = 4y^2 - 20y + 25
   $$
   $$
   -4(2y - 5)y = -8y^2 + 20y
   $$
   $$
   10(2y - 5) = 20y - 50
   $$

Thay vào:
   $$
   N = 4y^2 - 20y + 25 - 8y^2 + 20y + 5y^2 + 20y - 50 - 22y + 28
   $$

5. **Gom nhóm và tính toán**:
   Gom nhóm các hạng tử:
   $$
   N = (4y^2 - 8y^2 + 5y^2) + (-20y + 20y - 22y + 20y) + (25 - 50 + 28)
   $$
   $$
   = (4y^2 - 8y^2 + 5y^2) + (0y - 22y) + (3)
   $$
   $$
   = y^2 - 22y + 3
   $$

6. **Tìm giá trị nhỏ nhất của $ y^2 - 22y + 3 $**:
   Sử dụng công thức giá trị nhỏ nhất của hàm bậc hai:
   $$
   y = -\frac{-22}{2 \cdot 1} = \frac{22}{2} = 11
   $$

Thay $ y = 11 $ vào:
   $$
   N = 11^2 - 22 \cdot 11 + 3 = 121 - 242 + 3 = -118
   $$

Vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ N $ là $ \boxed{-118} $.

Tuấn Hưng 2k9 · Answer

Ta có:

N = x² + 4xy + 5y² + 10x - 22y + 28

= (x + 2y)² + y² + 10x - 22y + 28

= (x + 2y)² + 10(x + 2y) - 42y + y² + 28

= (x + 2y + 5)² - 25 + y² - 42y + 28

= (x + 2y + 5)² + (y - 21)² - 441 + 3

= (x + 2y + 5)² + (y - 21)² - 438

Vì:

(x + 2y + 5)² ≥ 0
(y - 21)² ≥ 0

nên:

N ≥ -438

Dấu "=" xảy ra khi:

x + 2y + 5 = 0
y - 21 = 0

⇒ y = 21
⇒ x = -47

Vậy:

Min N = -438

đạt được khi x = -47, y = 21.