« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của,$P=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+\frac1{a^2+b^2+c^2},$,với $a,b,c0,a+b+c=3.$

Question

« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $8$
$...$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của,$P=\frac1{a^2}+\frac1{b^2}+\frac1{c^2}+\frac1{a^2+b^2+c^2},$,với $a,b,c>0,a+b+c=3.$

Hurricane · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Với $a,b,c>0,\ a+b+c=3,$ ta có

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge \dfrac{(1+1+1)^2}{a^2+b^2+c^2}= \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}( ext{BĐT Cauchy Schwarz})$

$P=\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}$

$P\ge \dfrac{9}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}$

$P\ge \dfrac{10}{a^2+b^2+c^2}$

$a^2+b^2+c^2\le (a+b+c)^2=9$

$\Rightarrow P\ge \dfrac{10}{9}$

Dấu "$=$" xảy ra khi: $\begin{cases} a=b=c\ a+b+c=3\end{cases}$

$\Rightarrow \begin{cases} a=1\ b=1\ c=1\end{cases}$

Vậy $P_{\min}=\dfrac{10}{3}$ khi $a=b=c=1$.

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ P = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{a^2 + b^2 + c^2} $ với điều kiện $ a, b, c > 0 $ và $ a + b + c = 3 $, chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

$$
(a^2 + b^2 + c^2) \left( \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9.
$$

Từ đó, ta suy ra được:

$$
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq \frac{9}{a^2 + b^2 + c^2}.
$$

Gọi $ S = a^2 + b^2 + c^2 $. Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta cũng có:

$$
(a + b + c)^2 = 9 \geq a^2 + b^2 + c^2,
$$

tức là $ S \leq 9 $. Do đó, giá trị lớn nhất của $ S $ là $ 9 $.

Chúng ta có thể sử dụng $ S $ để biểu diễn $ P $:

$$
P = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} + \frac{1}{S}.
$$

Vì vậy, ta có thể thay $ \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} $ bằng $ \frac{9}{S} $ vào trong công thức của $ P $:

$$
P \geq \frac{9}{S} + \frac{1}{S} = \frac{10}{S}.
$$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ P $, ta cần tìm giá trị lớn nhất của $ S $. Theo điều kiện $ a + b + c = 3 $ và Cauchy-Schwarz, giá trị lớn nhất của $ S $ là $ S = 3 $ khi $ a = b = c = 1 $.

Thay $ S = 3 $ vào biểu thức của $ P $:

$$
P \geq \frac{10}{3}.
$$

Cuối cùng, ta kiểm tra trường hợp khi $ a = b = c = 1 $:

$$
P = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{1^2} + \frac{1}{1^2 + 1^2 + 1^2} = 3 + \frac{1}{3} = 3 + 0.3333 = 3.3333.
$$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \frac{10}{3} $ khi $ a = b = c = 1 $.

**Kết luận:** Giá trị nhỏ nhất của $ P $ là $ \frac{10}{3} $.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $8$ $...$