« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $6$
$...$ Bài 6. Tìm số nguyên n để phân số $\frac{n+4}{n+1}$ nhận giá trị nguyên.

Question

Trần Bằng · Accepted Answer

Timi · Answer

Để phân số $\frac{n+4}{n+1}$ nhận giá trị nguyên, tử số $n + 4$ phải chia hết cho mẫu số $n + 1$. Điều này có thể được biểu diễn như sau:

$$
\frac{n+4}{n+1} = k \quad (k \text{ là số nguyên})
$$

Suy ra:

$$
n + 4 = k(n + 1)
$$

Giải phương trình trên:

$$
n + 4 = kn + k
$$
$$
n - kn = k - 4
$$
$$
n(1 - k) = k - 4
$$
$$
n = \frac{k - 4}{1 - k}
$$

Để $n$ là số nguyên, điều kiện là $k - 4$ phải chia hết cho $1 - k$. Để tìm các giá trị của $k$, chúng ta sẽ xét các trường hợp khác nhau của $k$.

1. **Nếu $k = 0$**:
   $$
   n = \frac{0 - 4}{1 - 0} = -4
   $$
   
2. **Nếu $k = 1$**:
   $$
   n = \frac{1 - 4}{1 - 1} \text{ (không xác định)}
   $$

3. **Nếu $k = 2$**:
   $$
   n = \frac{2 - 4}{1 - 2} = \frac{-2}{-1} = 2
   $$

4. **Nếu $k = 3$**:
   $$
   n = \frac{3 - 4}{1 - 3} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2} \text{ (không phải số nguyên)}
   $$

5. **Nếu $k = 4$**:
   $$
   n = \frac{4 - 4}{1 - 4} = \frac{0}{-3} = 0
   $$

6. **Nếu $k = 5$**:
   $$
   n = \frac{5 - 4}{1 - 5} = \frac{1}{-4} \text{ (không phải số nguyên)}
   $$

Tiếp tục như vậy cho các giá trị của $k$ sẽ cho ta:

- Khi $k < 0$ hoặc $k > 5$, ta cũng tìm ra được các giá trị cho $n$.

Cuối cùng, các giá trị nguyên $n$ mà chúng ta đã tìm ra là:
- $n = -4$
- $n = 2$
- $n = 0$

Vậy, các số nguyên $n$ để phân số $\frac{n+4}{n+1}$ nhận giá trị nguyên là: $\{-4, 0, 2\}$.

Hurricane · Answer

$\dfrac{n+4}{n+1}=\dfrac{n+1+3}{n+1}=1+\dfrac{3}{n+1}$

Để $\dfrac{n+4}{n+1}$ nhận giá trị nguyên thì $3\vdots (n+1)$ mà $n$ là số nguyên $\Rightarrow n+1$ là ước nguyên của $3$

$\Rightarrow n+1=\{1;3;-1;-3\}$

$\Rightarrow n=\{0;2;-2;-4\}$

Vậy với $n=\{0;2;-2;-4\}$ thì $\dfrac{n+4}{n+1}$ nhận giá trị nguyên

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $6$ $...$