« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
$...$ Câu 1. Cho hai số nguyên dương a,bb thỏa mãn tính chất: với mỗi số nguyên dương n, nếu $na^2+na+1$ là lập,phương đúng của một số nguyên dương thì nb + 1 cũng là lập phương đúng của một số nguyên dương. Chứng,minh rằng 4b+ 1 là một số chính phương.

Question

Anh Trí · Accepted Answer

{"userId":5433079,"userName":"Katiee ୨୧"}

Đặt $t = (a+1)m$ với $m \in \mathbb{N}^*$.

Xét đa thức $f(t) = a^4t^3 + 3a^2t^2 + 3t$.

Ta có $a \equiv -1 \pmod{a+1} \implies a^2 \equiv 1 \pmod{a+1} \implies a^4 \equiv 1 \pmod{a+1}$.

Suy ra $f(t) \equiv t^3 + 3t^2 + 3t = (t+1)^3 - 1 \pmod{a+1}$.

Mà $t = (a+1)m \equiv 0 \pmod{a+1} \implies f(t) \equiv (0+1)^3 - 1 = 0 \pmod{a+1}$.

Do $f(t) \ \vdots \ (a+1)$, chọn $n = \frac{a \cdot f(t)}{a+1} \in \mathbb{N}^*$.

Khi đó:

$na^2 + na + 1 = na(a+1) + 1$

$= a^2 \cdot f(t) + 1$

$= a^2(a^4t^3 + 3a^2t^2 + 3t) + 1$

$= a^6t^3 + 3a^4t^2 + 3a^2t + 1$

$= (a^2t + 1)^3$ là lập phương đúng.

Theo giả thiết, $nb + 1$ cũng là lập phương đúng với mọi $m \in \mathbb{N}^*$.

Thay $t = (a+1)m$ vào biểu thức của $nb + 1$:

$nb + 1 = \frac{ab}{a+1} f(t) + 1$

$= \frac{ab}{a+1} [a^4(a+1)^3m^3 + 3a^2(a+1)^2m^2 + 3(a+1)m] + 1$

$= ab \cdot a^4(a+1)^2 m^3 + 3ab \cdot a^2(a+1) m^2 + 3ab \cdot m + 1$

Vì $nb + 1$ là lập phương đúng với mọi $m$ nên tồn tại số nguyên $A$ sao cho:

$nb + 1 = (Am + 1)^3 = A^3m^3 + 3A^2m^2 + 3Am + 1$

Đồng nhất hệ số của $m$ và $m^2$ ở hai vế:

$\begin{cases} 3A = 3ab \ 3A^2 = 3ab \cdot a^2(a+1) \end{cases}$

$\implies \begin{cases} A = ab \ (ab)^2 = ab \cdot a^2(a+1) \end{cases}$

Vì $a, b > 0 \implies ab eq 0$:

$\implies ab = a^2(a+1)$

$\implies b = a(a+1) = a^2 + a$

Thay vào biểu thức cần chứng minh:

$4b + 1 = 4(a^2 + a) + 1$

$= 4a^2 + 4a + 1$

$= (2a + 1)^2$

Vì $a \in \mathbb{N}^* \implies 2a + 1 \in \mathbb{N}^*$.

Vậy $4b + 1$ là số chính phương.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta sẽ chứng minh rằng $4b + 1$ là một số chính phương. Ta sẽ bắt đầu bằng cách sử dụng điều kiện được cho.

Giả sử $na^2 + na + 1 = k^3$ với $k$ là một số nguyên dương. Theo đề bài, nếu điều này xảy ra thì $nb + 1$ cũng phải là lập phương của một số nguyên dương.

Xét biểu thức $na^2 + na + 1$:

$$
na^2 + na + 1 = k^3
$$

Từ đó, ta có thể viết lại:

$$
n(a^2 + a) + 1 = k^3 \implies n(a^2 + a) = k^3 - 1
$$

Ta biết rằng $k^3 - 1$ có thể được phân tích thành:

$$
k^3 - 1 = (k - 1)(k^2 + k + 1)
$$

Do đó, $n(a^2 + a) = (k - 1)(k^2 + k + 1)$. Để có $n$ là số nguyên dương, ta cần $a^2 + a$ phải chia hết cho một số nguyên nào đó trong tích $ (k - 1)(k^2 + k + 1) $.

Bây giờ, nếu $nb + 1$ cũng là lập phương của một số nguyên dương, thì tương tự ta có:

$$
nb + 1 = m^3 \implies nb = m^3 - 1
$$

Phân tích $m^3 - 1$ cũng cho ta:

$$
m^3 - 1 = (m - 1)(m^2 + m + 1)
$$

Theo điều kiện bài toán, khi $na^2 + na + 1$ là lập phương thì $nb + 1$ cũng là lập phương, điều này cho thấy rằng có một mối liên hệ giữa $a$ và $b$ thông qua các số lập phương.

Bây giờ, ta cần chứng minh rằng $4b + 1$ là một số chính phương. Đặt $4b + 1 = k^2$ cho một số nguyên dương $k$.

Từ $4b + 1 = k^2$, ta có:

$$
4b = k^2 - 1 \implies b = \frac{k^2 - 1}{4}
$$

Để $b$ là số nguyên, $k^2 - 1$ phải chia hết cho $4$. Xét $k$:

- Nếu $k$ là số lẻ thì $k^2 \equiv 1 \mod 4$, do đó $k^2 - 1 \equiv 0 \mod 4$.
- Nếu $k$ là số chẵn thì $k^2 \equiv 0 \mod 4$, và $k^2 - 1 \equiv 3 \mod 4$ (không chia hết cho 4).

Vậy $k$ phải là số lẻ. Giả sử $k = 2m + 1$ với $m$ là số nguyên không âm, ta có:

$$
k^2 = (2m + 1)^2 = 4m^2 + 4m + 1
$$

Từ đó, ta tính được:

$$
4b + 1 = 4m^2 + 4m + 1 \implies 4b = 4m^2 + 4m \implies b = m^2 + m
$$

Cuối cùng, do $b$ có thể biểu diễn dưới dạng $m(m + 1)$ (một tích của hai số liên tiếp), từ đó ta thấy rằng $4b + 1 = k^2$ chính là một số chính phương.

Do đó, ta đã chứng minh rằng $4b + 1$ là một số chính phương.

**Kết luận:** $4b + 1$ là một số chính phương.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ $...$