Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến MA với đường tròn.
a) Vẽ dây AB vuông góc OM . Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn.
b) Cho biết R = 3cm; OM = 5cm, tính độ dài AB

Question

cute · Accepted Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

a) Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường trònGọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $OM$.Vì $AB \perp OM$ tại $H$ nên $OM$ là một phần đường kính vuông góc với dây cung $AB$.$\Rightarrow H$ là trung điểm của $AB$ (định lý đường kính vuông góc với dây cung).$\Rightarrow HA = HB$.Xét tam giác $MAB$ có $MH$ vừa là đường cao ($OM \perp AB$) vừa là đường trung tuyến ($HA = HB$).$\Rightarrow \triangle MAB$ cân tại $M$.$\Rightarrow MA = MB$ và $MH$ đồng thời là tia phân giác của góc $\widehat{AMB}$ $\Rightarrow \widehat{AMO} = \widehat{BMO}$.Xét $\triangle OAM$ và $\triangle OBM$ có:$OA = OB = R$$\widehat{AMO} = \widehat{BMO}$ (chứng minh trên)$OM$ là cạnh chung$\Rightarrow \triangle OAM = \triangle OBM$ (c-g-c).Suy ra $\widehat{OBM} = \widehat{OAM}$.Mà $MA$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $\widehat{OAM} = 90^\circ$.$\Rightarrow \widehat{OBM} = 90^\circ \Rightarrow OB \perp MB$.Vì $B$ thuộc đường tròn $(O)$ và $MB \perp OB$ tại $B$ nên $MB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.b) Tính độ dài ABXét $\triangle OAM$ vuông tại $A$ (do $MA$ là tiếp tuyến):Áp dụng định lý Pitago: $MA^2 = OM^2 - OA^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$.$\Rightarrow MA = 4 \text{ cm}$.Áp dụng hệ thức lượng trong $\triangle OAM$ vuông tại $A$ với đường cao $AH$:$AH \cdot OM = OA \cdot MA$$AH \cdot 5 = 3 \cdot 4 \Rightarrow AH = \frac{12}{5} = 2,4 \text{ cm}$.Vì $H$ là trung điểm của $AB$ nên:$AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 2,4 = \mathbf{4,8 \text{ cm}}$.

Timi · Answer

a) Để chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn, ta cần sử dụng định nghĩa về tiếp tuyến. Một đoạn thẳng được gọi là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

1. Xét tam giác OMA. Do MA là tiếp tuyến tại điểm A, nên OM vuông góc với MA (OM ⊥ MA).
2. Ta có AB vuông góc với OM (AB ⊥ OM). 
3. Từ điểm O, kẻ đoạn thẳng OA (bán kính), thì OA vuông góc với MA.
4. Bây giờ, chúng ta có ba đoạn thẳng: OM vuông góc với MA và AB vuông góc với OM. 
5. Vì AB vuông góc với OM và OA cũng vuông góc với MA, nên MB cũng vuông góc với OA (vì OA là bán kính tại điểm A).

Như vậy, MB vuông góc với OA, do đó MB là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm B.

b) Để tính độ dài của AB, ta sử dụng định lý Pythagore trong tam giác OMB.

1. Trong tam giác OMB, ta có:
   - OM = 5 cm (khoảng cách từ M đến tâm O)
   - OA = R = 3 cm (bán kính của đường tròn)
   - MB là tiếp tuyến nên MB vuông góc với OA.

2. Theo định lý Pythagore, ta có:
   $$
   OM^2 = OA^2 + MB^2
   $$
   Thay vào giá trị:
   $$
   5^2 = 3^2 + MB^2
   $$
   $$
   25 = 9 + MB^2
   $$
   $$
   MB^2 = 25 - 9 = 16
   $$
   $$
   MB = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}
   $$

3. Ta cần tính độ dài AB. Bởi vì AB vuông góc với OM và MB là đoạn thẳng từ M đến B (tiếp tuyến):
   $$
   AB = MB + AM = MB + OA
   $$
   Nhưng do AB chỉ là đoạn vuông góc với OM từ điểm A, mà không cần tính AM:
   Chúng ta chỉ tính độ dài của AB theo chiều dọc (MB).

Vậy độ dài AB là 4 cm.

**Đáp án:** Độ dài AB là 4 cm.

Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến MA với đường tròn. a) Vẽ dây AB vuông góc OM . Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn. b) Cho biết R = 3cm; OM = 5cm, tính độ dài AB