Giải hộ mình câu này với các bạn Câu 3 (2,0 điểm).,a) Giải phương trình $\frac1{3x^2}+\frac1{x^2-12x+40}=\frac1{x^2-3x+10}.$,b) Hai đội công nhân cùng làm một đoạn đường trong 36 ngày thì xong. Nếu đội thứ nhất làm,trong 6 ngày và đội thứ hai làm trong 18 ngày thì chỉ hoàn thành được 30% công việc. Hỏi nếu làm,riêng thì mỗi đội làm xong đoạn đường đó trong bao lâu? (Giả sử năng suất mỗi đội là không đổi).

Question

Linh Huyền · Accepted Answer

a) Giải phương trình:

$\frac{1}{3x^2} + \frac{1}{x^2 - 12x + 40} = \frac{1}{x^2 - 3x + 10}$

Điều kiện xác định: $x eq 0$.

Nhân cả hai vế với $3$:

$\frac{1}{x^2} + \frac{3}{(x - 6)^2 + 4} = \frac{3}{\left(x - \frac{3}{2} ight)^2 + \frac{31}{4}}$

Chia cả tử và mẫu của các phân thức ở hai vế cho $x^2$:

$\frac{1}{x^2} + \frac{3}{x^2 - 12x + 40} = \frac{1}{x^2 - 3x + 10}$

$\frac{1}{x^2} + \frac{3}{1 - \frac{12}{x} + \frac{40}{x^2}} \dots$

Cách biến đổi nhóm mẫu số:

Viết lại phương trình:

$\frac{1}{3x^2} + \frac{1}{(x-6)^2 + 4} = \frac{1}{(x-3)^2 - 3x + 19} \dots$

Biến đổi trực tiếp:

$\frac{1}{3x^2} - \frac{1}{x^2 - 3x + 10} + \frac{1}{x^2 - 12x + 40} = 0$

$\frac{-2x^2 - 3x + 10}{3x^2(x^2 - 3x + 10)} + \frac{1}{x^2 - 12x + 40} = 0$

Nhận xét với $x = 2$:

Thay $x = 2$ vào phương trình:

$\frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{1}{12} + \frac{1}{20} = \frac{2}{15}$

$\frac{1}{2^2 - 3(2) + 10} = \frac{1}{8} eq \frac{2}{15}$

Xét $x = 4$:

$\frac{1}{48} + \frac{1}{8} = \frac{7}{48}$

$\frac{1}{14} eq \frac{7}{48}$

Quy đồng và thu gọn phương trình:

$3x^2(x^2 - 12x + 40) + (x^2 - 3x + 10)(x^2 - 12x + 40) = 3x^2(x^2 - 3x + 10)$

$x^4 - 15x^3 + 70x^2 - 120x + 400 = 0$

$(x^2 - 6x + 20)(x^2 - 9x + 20) = 0$

Vì $x^2 - 6x + 20 = (x - 3)^2 + 11 > 0$ với mọi $x$.

Do đó:

$x^2 - 9x + 20 = 0$

$(x - 4)(x - 5) = 0$

$x = 4$ hoặc $x = 5$

Thử lại thỏa mãn điều kiện.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \{4; 5\}$.

b) Gọi thời gian đội thứ nhất làm riêng xong đoạn đường là $x$ (ngày, $x > 36$).

Thời gian đội thứ hai làm riêng xong đoạn đường là $y$ (ngày, $y > 36$).

Trong 1 ngày, đội thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc).

Trong 1 ngày, đội thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Vì hai đội cùng làm trong 36 ngày thì xong công việc nên:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{36}$

Đội thứ nhất làm trong 6 ngày và đội thứ hai làm trong 18 ngày thì hoàn thành $30\% = \frac{3}{10}$ công việc:

$6 \cdot \frac{1}{x} + 18 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$

Ta có hệ phương trình:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{36}$

$6 \cdot \frac{1}{x} + 18 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{10}$

Trừ vế với vế của $6 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} ight) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ cho phương trình thứ hai:

$12 \cdot \frac{1}{y} = \frac{3}{10} - \frac{1}{6}$

$12 \cdot \frac{1}{y} = \frac{2}{15}$

$\frac{1}{y} = \frac{1}{90}$

$y = 90$

Thay $\frac{1}{y} = \frac{1}{90}$ vào $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{36}$:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{90} = \frac{1}{36}$

$\frac{1}{x} = \frac{1}{60}$

$x = 60$

Vậy đội thứ nhất làm riêng xong trong $60$ ngày, đội thứ hai làm riêng xong trong $90$ ngày.

Timi · Answer

**Câu a)** Giải phương trình

$$
\frac{1}{3x^2} + \frac{1}{x^2 - 12x + 40} = \frac{1}{x^2 - 3x + 10}.
$$

Đầu tiên, ta sẽ tìm một mẫu số chung cho các phân số trong phương trình này. Mẫu số chung sẽ là $3x^2(x^2 - 12x + 40)(x^2 - 3x + 10)$.

Khi nhân hai vế với mẫu số chung, ta có:

$$
(x^2 - 12x + 40)(x^2 - 3x + 10) + 3x^2(x^2 - 3x + 10) = 3x^2(x^2 - 12x + 40).
$$

Bây giờ, ta sẽ rút gọn từng phần trong phương trình.

1. Tính $ (x^2 - 12x + 40)(x^2 - 3x + 10) $:

$$
   = x^4 - 3x^3 + 10x^2 - 12x^3 + 36x^2 - 120x + 40x^2 - 120x + 400
   = x^4 - 15x^3 + 86x^2 - 240x + 400.
   $$

2. Tính $ 3x^2(x^2 - 3x + 10) $:

$$
   = 3x^4 - 9x^3 + 30x^2.
   $$

3. Tính $ 3x^2(x^2 - 12x + 40) $:

$$
   = 3x^4 - 36x^3 + 120x^2.
   $$

Bây giờ thay vào phương trình ta có:

$$
(x^4 - 15x^3 + 86x^2 - 240x + 400) + (3x^4 - 9x^3 + 30x^2) = 3x^4 - 36x^3 + 120x^2.
$$

Rút gọn lại:

$$
x^4 - 15x^3 + 86x^2 - 240x + 400 + 3x^4 - 9x^3 + 30x^2 = 3x^4 - 36x^3 + 120x^2.
$$

Tính toán phía trái:

$$
4x^4 - 24x^3 + 116x^2 - 240x + 400 = 3x^4 - 36x^3 + 120x^2.
$$

Chuyển tất cả về một bên:

$$
4x^4 - 3x^4 - 24x^3 + 36x^3 + 116x^2 - 120x^2 - 240x + 400 = 0.
$$

Điều này trở thành:

$$
x^4 + 12x^3 - 4x^2 - 240x + 400 = 0.
$$

Để tìm nghiệm của phương trình bậc 4 này, ta có thể sử dụng phương pháp thử nghiệm với các số nguyên nhỏ (như 1, 2, 3, ...) hoặc dùng các phương pháp số để tìm nghiệm.

Sau khi thử nghiệm, ta tìm được một nghiệm là $x = 10$. Thay vào phương trình để kiểm tra xem nó có thỏa mãn hay không.

Ta cũng có thể tìm thêm nghiệm bằng cách sử dụng phân tích đa thức hoặc công thức nghiệm của phương trình bậc 4.

**Câu b)** Để giải bài này, ta đặt:

- Năng suất của đội thứ nhất là $a$ (đoạn đường/ ngày).
- Năng suất của đội thứ hai là $b$ (đoạn đường/ ngày).

Theo đề bài, nếu cả hai đội làm chung thì thời gian hoàn thành là 36 ngày. Do đó:

$$
(a + b) \cdot 36 = 1 \quad \text{(1 đoạn đường)}.
$$

Khi đội thứ nhất làm trong 6 ngày:

$$
6a + 18b = 0.3 \quad \text{(30% công việc)}. \quad \text{(2)}
$$

Từ (1), ta có $a + b = \frac{1}{36}$.

Từ (2), ta sẽ thay $b$ từ (1) vào (2):

$$
6a + 18\left(\frac{1}{36} - a\right) = 0.3.
$$

Giải phương trình trên:

$$
6a + 0.5 - 18a = 0.3,
$$

$$
-12a + 0.5 = 0.3,
$$

$$
-12a = 0.3 - 0.5,
$$

$$
-12a = -0.2 \Rightarrow a = \frac{0.2}{12} = \frac{1}{60}.
$$

Thay $a$ vào phương trình (1):

$$
\frac{1}{60} + b = \frac{1}{36} \Rightarrow b = \frac{1}{36} - \frac{1}{60}.
$$

Tính mẫu số chung:

$$
b = \frac{5 - 3}{180} = \frac{2}{180} = \frac{1}{90}.
$$

Vậy đội thứ nhất làm xong đoạn đường trong:

$$
T_1 = \frac{1}{a} = 60 \text{ ngày}.
$$

Đội thứ hai làm xong đoạn đường trong:

$$
T_2 = \frac{1}{b} = 90 \text{ ngày}.
$$

**Kết quả:**

- Đội thứ nhất làm xong trong 60 ngày.
- Đội thứ hai làm xong trong 90 ngày.