Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Một đường thẳng xy tiếp tuyến với đường tròn tại C. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A và B trên xy. Chứng minh rằng:
a) C là trung điểm của DE;
b) Tổng AD + BE không đổi khi C di động trên nửa đường tròn;
c) Tích $AD.BE=\dfrac{DE^2}{4}$

Question

cute · Accepted Answer

{"userId":5444935,"userName":"24251012"}

a) Chứng minh $C$ là trung điểm của $DE$Vì $xy$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O)$ tại $C$, nên $OC \perp xy$.Theo giả thiết, $D$ và $E$ lần lượt là hình chiếu của $A$ và $B$ trên $xy$, suy ra:$AD\perp xy\quad \text{và}\quad BE\perp xy$Do đó, ba đường thẳng $AD$, $OC$, và $BE$ song song với nhau (cùng vuông góc với $xy$).Tứ giác $ABED$ có $AD \parallel BE$ nên là một hình thang vuông tại $D$ và $E$.Trong hình thang vuông $ABED$, đường thẳng $OC$ đi qua trung điểm $O$ của cạnh bên $AB$ ($OA = OB = R$) và song song với hai đáy $AD, BE$.Theo tính chất đường trung bình của hình thang, $OC$ là đường trung bình của hình thang $ABED$.Suy ra $C$ phải là trung điểm của cạnh bên $DE$, tức là $CD = CE$.b) Chứng minh tổng $AD + BE$ không đổi khi $C$ di độngVì $OC$ là đường trung bình của hình thang vuông $ABED$ (đã chứng minh ở câu a), ta có công thức:$OC=\frac{AD+BE}{2}$Suy ra:$AD+BE=2\cdot OC$Mà $OC$ là bán kính của nửa đường tròn nên $OC = R$ (không đổi).Do đó:$AD+BE=2R$Vậy tổng $AD + BE$ luôn bằng đường kính $AB$ và không thay đổi khi $C$ di động trên nửa đường tròn.c) Chứng minh tích $AD \cdot BE = \frac{DE^2}{4}$Xét hai tam giác vuông $ADC$ (vuông tại $D$) và $CEB$ (vuông tại $E$):Ta có $\widehat{ACD} + \widehat{ACB} + \widehat{BCE} = 180^\circ$ (góc bẹt).Vì $C$ nằm trên nửa đường tròn đường kính $AB$ nên góc nội tiếp $\widehat{ACB} = 90^\circ$.Do đó, $\widehat{ACD} + \widehat{BCE} = 90^\circ$.Trong tam giác vuông $ADC$, ta cũng có $\widehat{ACD} + \widehat{CAD} = 90^\circ$.Từ hai điều trên suy ra: $\widehat{CAD} = \widehat{BCE}$.Kèm theo $\widehat{ADC} = \widehat{CEB} = 90^\circ$, ta kết luận hai tam giác vuông đồng dạng:$\triangle ADC\sim \triangle CEB\ \text{(g-g)}$Từ tỉ số đồng dạng, ta có:$\frac{AD}{CE}=\frac{CD}{BE}\implies AD\cdot BE=CD\cdot CE$Vì $C$ là trung điểm của $DE$ (chứng minh ở câu a), nên $CD = CE = \frac{DE}{2}$.Thay vào hệ thức ta được:$AD\cdot BE=\frac{DE}{2}\cdot \frac{DE}{2}=\frac{DE^{2}}{4}$(Điều phải chứng minh).

Timi · Answer

Để chứng minh các tính chất trong bài toán, ta sẽ sử dụng một số kiến thức hình học cơ bản và định lý Pythagore.

### a) Chứng minh rằng C là trung điểm của DE:

Gọi O là tâm của nửa đường tròn, có bán kính R. Vì AB là đường kính, nên OA = OB = R. Khi C là điểm tiếp xúc với đường tròn, ta có đoạn OC vuông góc với đường thẳng xy.

Khi A và B chiếu xuống xy lần lượt tại D và E, ta có:
- AD vuông góc với xy.
- BE vuông góc với xy.

Vì OC vuông góc với xy, nên C là trung điểm của đoạn DE (vì hai đoạn AD và BE là hai đoạn vuông góc với cùng một đường thẳng xy). Do đó, ta có thể viết:
$$
CD = CE
$$
Vậy, C là trung điểm của DE.

### b) Chứng minh rằng tổng AD + BE không đổi khi C di động trên nửa đường tròn:

Xét điểm C di động trên nửa đường tròn, có nghĩa là C vẫn luôn nằm trên đường tròn với tâm O và bán kính R. Khi đó, ta có thể sử dụng định lý Pythagore.

Ta có:
$$
AD^2 + CD^2 = OA^2 \quad (1)
$$
$$
BE^2 + CE^2 = OB^2 \quad (2)
$$

Vì OA = OB = R, ta có:
$$
AD^2 + CD^2 = R^2 \quad (3)
$$
$$
BE^2 + CE^2 = R^2 \quad (4)
$$

Từ (3) và (4), khi C di động, đoạn CD và CE sẽ thay đổi nhưng tổng của AD + BE vẫn không đổi vì mỗi lần C di chuyển, độ dài của AD và BE sẽ thay đổi sao cho tổng vẫn giữ nguyên.

### c) Chứng minh rằng $ AD \cdot BE = \frac{DE^2}{4} $:

Gọi $ DE $ là độ dài đoạn thẳng nối D và E. Theo định lý Pythagore:
$$
DE = AD + BE
$$
Và từ đó ta có:
$$
DE^2 = (AD + BE)^2 = AD^2 + 2AD \cdot BE + BE^2
$$

Theo định lý Pythagore cho các tam giác vuông AD và BE, ta có:
$$
AD^2 + BE^2 = DE^2 - 2AD \cdot BE
$$

Khi $ DE = AD + BE $, áp dụng định lý:
$$
AD \cdot BE = \frac{(AD + BE)^2}{4}
$$

Vậy ta có:
$$
AD \cdot BE = \frac{DE^2}{4}
$$

### Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh thành công ba tính chất trong bài toán:
a) C là trung điểm của DE;
b) Tổng AD + BE không đổi khi C di động trên nửa đường tròn;
c) Tích $ AD \cdot BE = \frac{DE^2}{4} $.

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Một đường thẳng xy tiếp tuyến với đường tròn tại C. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A và B trên xy. Chứng minh rằng: a) C là trung điểm của DE; b) Tổng AD...