Một con lắc lò xo đặt nằm ngang: m = 250 g k = 100 N/m Ban đầu kéo vật lệch khỏi vị trí cân bằng 8 cm rồi truyền cho vật vận tốc 40 cm/s theo chiều về vị trí cân bằng. Tính: a) Biên độ dao động. b)...

Cho bài toán con lắc lò xo nằm ngang với các dữ liệu: - khối lượng m = 250 g = 0.25 kg - độ cứng lò xo k = 100 N/m - ban đầu kéo vật lệch 8 cm = 0.08 m - vận tốc ban đầu v₀ = 40 cm/s = 0.4 m/s về phía vị trí cân bằng. --- **a) Tính biên độ dao động A** Biên độ A thỏa mãn phương trình: \[ A = \sqrt{x_0^2 + \left(\frac{v_0}{\omega}\right)^2} \] Trong đó: \[ \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{100}{0.25}} = \sqrt{400} = 20 \text{ rad/s} \] Thay số: \[ A = \sqrt{(0.08)^2 + \left(\frac{0.4}{20}\right)^2} = \sqrt{0.0064 + (0.02)^2} = \sqrt{0.0064 + 0.0004} = \sqrt{0.0068} \approx 0.08246 \text{ m} = 8.25 \text{ cm} \] --- **b) Tính cơ năng E** Cơ năng của con lắc lò xo là: \[ E = \frac{1}{2} k A^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times (0.08246)^2 = 50 \times 0.0068 = 0.34 \text{ J} \] --- **c) Tính vận tốc cực đại \(v_{max}\)** Vận tốc cực đại của con lắc: \[ v_{max} = \omega A = 20 \times 0.08246 = 1.649 \text{ m/s} \] --- **d) Tính thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng** Giả sử vị trí cân bằng là \(x=0\). Phương trình dao động: \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] Ban đầu tại \(t=0\): \[ x(0) = x_0 = 0.08 = A \cos \varphi \] \[ v(0) = v_0 = -0.4 = -A \omega \sin \varphi \] Lưu ý dấu âm vì vận tốc theo chiều về vị trí cân bằng nên ngược chiều dương của trục. Từ 2 phương trình trên: \[ \cos \varphi = \frac{x_0}{A} = \frac{0.08}{0.08246} = 0.969 \] \[ \sin \varphi = \frac{v_0}{-A \omega} = \frac{-0.4}{-0.08246 \times 20} = \frac{-0.4}{-1.649} = 0.2425 \] Kiểm tra \(\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi \approx 0.2425^2 + 0.969^2 = 0.0588 + 0.939 = 0.998\) gần bằng 1, hợp lệ. Tính \(\varphi = \arccos(0.969) \approx 0.25 \text{ rad}\). Thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng là lúc \(x(t)=0\), tức: \[ 0 = A \cos(\omega t + \varphi) \Rightarrow \cos(\omega t + \varphi) = 0 \] Giải phương trình: \[ \omega t + \varphi = \frac{\pi}{2} \Rightarrow t = \frac{\pi/2 - \varphi}{\omega} = \frac{1.5708 - 0.25}{20} = \frac{1.3208}{20} = 0.066 \text{ s} \] --- **Kết luận:** a) Biên độ dao động: \(A \approx 8.25\) cm b) Cơ năng: \(E = 0.34\) J c) Vận tốc cực đại: \(v_{max} \approx 1.65\) m/s d) Thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí cân bằng: \(t \approx 0.066\) s