« CÂU HỎI Vật Lý · Lớp $12$ $...$

**Dữ liệu bài toán:** - Cột hình trụ đứng, bán kính \( R = 30\, cm = 0{,}3\, m \), chiều cao \( h = O_1O_2 = 10\, m \). - Dây cáp nhẹ dài \( l = 15\, m \) buộc ở hai đầu \( O_1, O_2 \). - Móc cần cẩu móc vào điểm \( M \) trên dây, nâng cột lên sao cho cột luôn nằm ngang, chuyển động thẳng đều. - Tam giác \( MO_1O_2 \) thỏa mãn: \( l = O_1M + MO_2 \). - Đặt \( x = O_1M \). - Khối lượng riêng ban đầu đồng đều: \( \rho_0 = 800\, kg/m^3 \). - Trọng trường: \( g = 9.8\, m/s^2 \). --- ## 1. Tính khối lượng \( m \) và vị trí trọng tâm \( G \) của cột ### a) Mật độ khối lượng không đổi Khối lượng: \[ m = \rho_0 \times V \] Thể tích cột: \[ V = S \times h = \pi R^2 h = \pi (0{,}3)^2 \times 10 = \pi \times 0{,}09 \times 10 = 0{,}9\pi\, m^3 \] Do đó: \[ m = 800 \times 0{,}9 \pi \approx 800 \times 2{,}827 = 2261.9\, kg \] Vị trí trọng tâm \( G \): Do cột đồng chất, trọng tâm nằm tại trung điểm chiều cao \( O_1O_2 \): \[ z_G = \frac{h}{2} = 5\, m \] --- ### b) Mật độ khối lượng phụ thuộc \( r, z \): \[ \rho = \rho_0 \frac{e^{-\alpha r}}{1 + \beta z}, \quad \rho_0 = 800\, kg/m^3, \alpha=0{,}2\, m^{-1}, \beta=0{,}1\, m^{-1} \] **Khối lượng:** Tính khối lượng bằng tích phân: \[ m = \int_V \rho(r,z) dV \] Biến đổi tích phân theo tọa độ trụ: \( r \in [0,R], \theta \in [0, 2\pi], z \in [0,h] \). Thể tích phần tử: \[ dV = r \, dr \, d\theta \, dz \] Do đó: \[ m = \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R \rho_0 \frac{e^{-\alpha r}}{1 + \beta z} r\, dr\, d\theta\, dz \] \[ = \rho_0 \int_0^h \frac{1}{1 + \beta z} dz \times \int_0^{2\pi} d\theta \times \int_0^R r e^{-\alpha r} dr \] Tính từng tích phân: - \( \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \) - \( I_1 = \int_0^R r e^{-\alpha r} dr \) Tính \( I_1 \) bằng tích phân từng phần: \[ I_1 = \int_0^R r e^{-\alpha r} dr \] Lấy: \[ u = r \Rightarrow du = dr, \quad dv = e^{-\alpha r} dr \Rightarrow v = -\frac{1}{\alpha} e^{-\alpha r} \] Áp dụng tích phân từng phần: \[ I_1 = uv \Big|_0^R - \int_0^R v du = -\frac{r}{\alpha} e^{-\alpha r} \Big|_0^R + \frac{1}{\alpha} \int_0^R e^{-\alpha r} dr \] Tích phân cuối: \[ \int_0^R e^{-\alpha r} dr = \frac{1}{\alpha} (1 - e^{-\alpha R}) \] Nên: \[ I_1 = -\frac{R}{\alpha} e^{-\alpha R} + \frac{1}{\alpha^2} (1 - e^{-\alpha R}) = \frac{1}{\alpha^2} \left( 1 - e^{-\alpha R} (1 + \alpha R) \right) \] Thay số: \[ \alpha = 0{,}2, \quad R=0{,}3 \] Tính \( e^{-\alpha R} = e^{-0{,}2 \times 0{,}3} = e^{-0{,}06} \approx 0{,}94176 \) Tính: \[ 1 + \alpha R = 1 + 0{,}2 \times 0{,}3 = 1 + 0{,}06 = 1{,}06 \] Do đó: \[ I_1 = \frac{1}{0{,}2^2} \left( 1 - 0{,}94176 \times 1{,}06 \right) = \frac{1}{0{,}04} \left( 1 - 0{,}99747 \right) = 25 \times 0{,}00253 = 0{,}06325\, m^2 \] --- Tính tích phân theo \( z \): \[ I_2 = \int_0^{10} \frac{1}{1 + 0{,}1 z} dz \] Đặt \( u = 1 + 0{,}1 z \Rightarrow du = 0{,}1 dz \Rightarrow dz = 10 du \). Khi \( z=0, u=1 \); khi \( z=10, u=1+1=2 \). Do đó: \[ I_2 = \int_1^2 \frac{1}{u} \times 10 du = 10 \int_1^2 \frac{1}{u} du = 10 [\ln u]_1^2 = 10 \ln 2 \approx 10 \times 0{,}6931 = 6{,}931 \] --- Kết hợp lại: \[ m = \rho_0 \times I_2 \times 2\pi \times I_1 = 800 \times 6{,}931 \times 2 \pi \times 0{,}06325 \] Tính: \[ 2 \pi \approx 6{,}2832 \] \[ m = 800 \times 6{,}931 \times 6{,}2832 \times 0{,}06325 \] Tính tích phần cuối: \[ 6{,}931 \times 6{,}2832 \approx 43{,}54 \] \[ 43{,}54 \times 0{,}06325 \approx 2{,}753 \] Cuối cùng: \[ m = 800 \times 2{,}753 = 2202.4\, kg \] --- **Tính vị trí trọng tâm \( z_G \):** \[ z_G = \frac{1}{m} \int_V z \rho(r,z) dV = \frac{1}{m} \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^R z \rho_0 \frac{e^{-\alpha r}}{1 + \beta z} r dr d\theta dz \] Tách tích phân: \[ z_G = \frac{\rho_0 \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r e^{-\alpha r} dr \int_0^h \frac{z}{1 + \beta z} dz}{m} = \frac{\rho_0 \times 2\pi \times I_1 \times I_3}{m} \] Đã biết: \[ m = \rho_0 \times 2\pi \times I_1 \times I_2 \] Do đó: \[ z_G = \frac{I_3}{I_2} \] Tính: \[ I_3 = \int_0^{10} \frac{z}{1 + 0{,}1 z} dz \] Đặt \( u = 1 + 0{,}1 z \Rightarrow z = \frac{u - 1}{0{,}1} = 10 (u - 1), dz = 10 du \). Khi \( z=0, u=1 \), khi \( z=10, u=2 \). Thay vào: \[ I_3 = \int_1^2 \frac{10 (u - 1)}{u} \times 10 du = 100 \int_1^2 \left( 1 - \frac{1}{u} \right) du = 100 \left( \int_1^2 1 du - \int_1^2 \frac{1}{u} du \right) \] \[ = 100 \left( (2-1) - \ln 2 \right) = 100 (1 - 0{,}6931) = 100 \times 0{,}3069 = 30{,}69 \] Do đó: \[ z_G = \frac{I_3}{I_2} = \frac{30{,}69}{6{,}931} \approx 4{,}43\, m \] --- ## 2. Tính giá trị \( x = O_1M \) và lực căng dây \( T_1, T_2 \) **Thông tin:** - Dây cáp nhẹ dài \( l=15\, m \). - Tam giác \( MO_1O_2 \) có tổng cạnh: \[ l = O_1M + MO_2 = x + (l - x) = 15\, m \] - Chiều dài cột \( O_1O_2 = 10\, m \). - Cột nằm ngang, được nâng lên theo phương thẳng đứng nhờ móc tại \( M \). - Cột chuyển động thẳng đều => hệ thống cân bằng lực. --- **Mô hình lực:** - Lực căng dây tại \( O_1 \): \( T_1 \). - Lực căng dây tại \( O_2 \): \( T_2 \). - Trọng lượng cột: \( P = mg \), tác dụng tại trọng tâm \( G \). --- ### Phân tích hình học tam giác \( MO_1O_2 \): Do cột nằm ngang, đoạn \( O_1O_2 = 10\, m \) nằm ngang. Điểm \( M \) nằm trên dây cáp dài 15 m, được nâng lên theo phương thẳng đứng, nên \( M \) có tọa độ: - Theo trục ngang (x): \( x \) từ \( O_1 \). - Theo trục đứng (y): \( y = h_M \) chưa biết. Tam giác có cạnh đáy \( O_1O_2 = 10\, m \), tổng độ dài hai đoạn \( O_1M + MO_2 = 15\, m \). Áp dụng định lý cosin hoặc quan hệ tam giác: Gọi độ cao móc cẩu \( M \) là \( h_M \). Do \( O_1M = x \), \( MO_2 = 15 - x \), và \( O_1O_2 = 10 \). Theo định lý Pytago: \[ h_M = \sqrt{x^2 - 10^2} = \sqrt{(15 - x)^2 - 10^2} \] Suy ra: \[ x^2 - 100 = (15 - x)^2 - 100 \Rightarrow x^2 = (15 - x)^2 \] Mở rộng: \[ x^2 = 225 - 30x + x^2 \Rightarrow 0 = 225 - 30x \Rightarrow x = 7{,}5\, m \] Nên: \[ O_1M = x = 7{,}5\, m, \quad MO_2 = 15 - 7{,}5 = 7{,}5\, m \] Độ cao móc: \[ h_M = \sqrt{7{,}5^2 - 10^2} = \sqrt{56{,}25 - 100} = \sqrt{-43{,}75} \] Nhận thấy vô nghĩa vì \( 7.5^2 < 10^2 \) nên sai. Chúng ta cần lưu ý: Do dây cáp dài hơn cột, điểm \( M \) ở phía trên nên phải có tọa độ \( y = h_M \geq 0 \). Lấy tam giác \( MO_1O_2 \) với đáy \( O_1O_2 = 10 \), tổng 2 cạnh \( l=15 \). Gọi \( h_M \) là độ cao của tam giác tại \( M \). Ta có: \[ h_M = \sqrt{x(l - x) - \left(\frac{l^2 - 10^2}{4}\right)} \] Tuy nhiên cách tốt nhất là sử dụng công thức Heron để tìm chiều cao \( h_M \). Chu vi nửa tam giác: \[ s = \frac{10 + x + (15 - x)}{2} = \frac{10 + 15}{2} = 12{,}5\, m \] Diện tích tam giác: \[ S = \sqrt{s(s - 10)(s - x)(s - (15 - x))} \] Thay \( s = 12.5 \): \[ S = \sqrt{12.5 (12.5 - 10)(12.5 - x)(12.5 - 15 + x)} = \sqrt{12.5 \times 2.5 \times (12.5 - x)(x - 2.5)} \] Chiều cao: \[ h_M = \frac{2 S}{10} = \frac{2}{10} \sqrt{12.5 \times 2.5 \times (12.5 - x)(x - 2.5)} = 0.2 \sqrt{312.5 (12.5 - x)(x - 2.5)} \] Để \( h_M \) thực, ta cần: \[ x \in (2.5, 12.5) \] --- ### Cân bằng lực Xét hệ tọa độ: - Trục ngang: trục \( x \). - Trục thẳng đứng: trục \( y \). Gọi: - Lực căng dây tại \( O_1 \): \( \vec{T}_1 \) theo hướng \( M \to O_1 \). - Lực căng dây tại \( O_2 \): \( \vec{T}_2 \) theo hướng \( M \to O_2 \). Cân bằng lực cho cột nằm ngang thăng bằng tại trạng thái tĩnh: \[ \vec{T}_1 + \vec{T}_2 + \vec{P} = 0 \] Phân tích các lực theo trục \( x, y \): - \( \vec{P} = (0, -mg) \). - \( \vec{T}_1 = T_1 \vec{u}_1 \), với \(\vec{u}_1\) là vector đơn vị từ \( O_1 \) đến \( M \). - \( \vec{T}_2 = T_2 \vec{u}_2 \), với \(\vec{u}_2\) là vector đơn vị từ \( O_2 \) đến \( M \). --- **Vector:** - Tọa độ \( O_1 = (0,0) \), \( O_2 = (10,0) \). - Tọa độ \( M = (x, h_M) \). Vectors: \[ \vec{O_1M} = (x, h_M), \quad |\vec{O_1M}| = \sqrt{x^2 + h_M^2} = x \quad (\text{vì } x = O_1M) \] => \( h_M = \sqrt{x^2 - 10^2} \) không hợp lý như trên. Do vậy ta xét lại: Độ dài \( O_1M = x \), độ dài \( MO_2 = l - x = 15 - x \). Khoảng cách \( O_1O_2 = 10 \). Áp dụng định lý cosin trong tam giác \( MO_1O_2 \): \[ (O_1O_2)^2 = x^2 + (15 - x)^2 - 2x (15 - x) \cos \theta \] Với \( \theta = \) góc tại \( M \) giữa hai dây. Ta biết \( O_1O_2 = 10 \), \( l = 15 \). Tuy nhiên, vì dây là 2 đoạn thẳng \( O_1M \) và \( MO_2 \), nên không thể dựng tam giác thẳng \( MO_1O_2 \) với 2 cạnh \( x, l - x \) và đáy 10 cùng thẳng đứng. Có thể do hình vẽ, \( M \) nằm trên đường dây hình chữ V, không thẳng đứng. Vì vậy, phải dùng lực lượng cân bằng để giải. --- ### Cân bằng moment (moment quanh \( O_1 \)) Chọn trục quay qua \( O_1 \). Các lực tác dụng: - \( T_1 \) tác dụng tại \( O_1 \), moment = 0. - \( T_2 \) tác dụng tại \( O_2 \) với vector từ \( O_1 \to O_2 = (10,0) \). - Trọng lực tác dụng tại \( G \) với tọ