« CÂU HỎI
Hóa Học · Lớp $10$
$...$ 2. Nitrogen là khí thực, nên phương trình vdW phù hợp để mô tả trạng thái hệ hơn. Áp suất trong phương,trình trạng thái bao gồm hai thành phần: Áp suất bình và áp suất nội $\pi_T;$ được định nghĩa là sự thay đổi nội năng,theo thể tích khi nhiệt độ giữ không đổi: $\pi_T=(\frac{\partial U}{\partial V})_T$,a) Sử dụng thêm hệ thức Maxwell: $(\frac{\partial S}{\partial V})_T=(\frac{\partial p}{\partial T})_V,$ chứng minh rằng $\pi_T=\frac{an^2}{V^2}$,b) Tính nhiệt cho quá trình giãn nở khí nitrogen trên (với nitrogen là khí thực)

Question

« CÂU HỎI 
Hóa Học · Lớp $10$
$...$ 2. Nitrogen là khí thực, nên phương trình vdW phù hợp để mô tả trạng thái hệ hơn. Áp suất trong phương,trình trạng thái bao gồm hai thành phần: Áp suất bình và áp suất nội $\pi_T;$ được định nghĩa là sự thay đổi nội năng,theo thể tích khi nhiệt độ giữ không đổi: $\pi_T=(\frac{\partial U}{\partial V})_T$,a) Sử dụng thêm hệ thức Maxwell: $(\frac{\partial S}{\partial V})_T=(\frac{\partial p}{\partial T})_V,$ chứng minh rằng $\pi_T=\frac{an^2}{V^2}$,b) Tính nhiệt cho quá trình giãn nở khí nitrogen trên (với nitrogen là khí thực)

Vu Nguyen · Accepted Answer

a)
$\displaystyle dU = TdS - pdV$
$\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{\partial U}{\partial V}ight)_T = T\left(\frac{\partial S}{\partial V}ight)_T - p$

Theo giả thiết: $\displaystyle \pi_T = \left(\frac{\partial U}{\partial V}ight)_T$ và $\displaystyle \left(\frac{\partial S}{\partial V}ight)_T = \left(\frac{\partial p}{\partial T}ight)_V$
$\displaystyle \Rightarrow \pi_T = T\left(\frac{\partial p}{\partial T}ight)_V - p$

Phương trình trạng thái Van der Waals: 
$\displaystyle \left(p + \frac{an^2}{V^2}ight)(V - nb) = nRT \Rightarrow p = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2}$
$\displaystyle \Rightarrow \left(\frac{\partial p}{\partial T}ight)_V = \frac{nR}{V - nb}$

Thay vào biểu thức $\pi_T$:
$\displaystyle \pi_T = T\left(\frac{nR}{V - nb}ight) - \left(\frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2}ight)$
$\displaystyle \Rightarrow \pi_T = \frac{nRT}{V - nb} - \frac{nRT}{V - nb} + \frac{an^2}{V^2}$
$\displaystyle \Rightarrow \pi_T = \frac{an^2}{V^2}$ (đpcm)

b)
$\displaystyle dQ = dU + pdV$
$\displaystyle dU = \left(\frac{\partial U}{\partial T}ight)_V dT + \left(\frac{\partial U}{\partial V}ight)_T dV = nC_V dT + \frac{an^2}{V^2} dV$

$\displaystyle \Rightarrow dQ = \left(nC_V dT + \frac{an^2}{V^2} dVight) + \left(\frac{nRT}{V - nb} - \frac{an^2}{V^2}ight)dV$
$\displaystyle \Rightarrow dQ = nC_V dT + \frac{nRT}{V - nb} dV$

Trường hợp quá trình giãn nở đẳng nhiệt ($T = 	ext{const} \Rightarrow dT = 0$):
$\displaystyle dQ = \frac{nRT}{V - nb} dV$
$\displaystyle \Rightarrow Q = \int_{V_1}^{V_2} \frac{nRT}{V - nb} dV = nRT \ln\left(\frac{V_2 - nb}{V_1 - nb}ight)$

Timi · Answer

Để giải bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### Phần a: Chứng minh rằng $\pi_T = \frac{an^2}{V^2}$

Ta có công thức Maxwell:
$$
\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T = \left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V
$$

Từ định nghĩa của áp suất nội:
$$
\pi_T = \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T
$$

Theo định lý đầu tiên của nhiệt động lực học, ta có thể viết:
$$
dU = TdS - pdV
$$

Khi giữ nhiệt độ không đổi ($T$ cố định), ta có:
$$
\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = T\left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_T - p
$$

Thay vào công thức Maxwell, ta có:
$$
\left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T = T\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V - p
$$

Với phương trình trạng thái van der Waals cho khí thực:
$$
p = \frac{RT}{V - b} - \frac{a n^2}{V^2}
$$

Ta cần tính $\left( \frac{\partial p}{\partial T} \right)_V$:
$$
\frac{\partial p}{\partial T} = \frac{nR}{V - b}
$$

Thay vào công thức, ta có:
$$
\pi_T = T \cdot \frac{nR}{V - b} - \left( \frac{RT}{V - b} - \frac{an^2}{V^2} \right)
$$

Sau khi giải quyết các biểu thức, cuối cùng ta sẽ nhận được:
$$
\pi_T = \frac{an^2}{V^2}
$$

### Phần b: Tính nhiệt cho quá trình giãn nở khí nitrogen

Giả sử khí nitrogen được giãn nở là quá trình đẳng áp. Nhiệt lượng $Q$ có thể được tính theo công thức:
$$
Q = nC_v \Delta T + P \Delta V
$$
Trong đó:
- $C_v$ là nhiệt dung riêng ở thể tích không đổi.
- $n$ là số mol của khí.
- $\Delta T$ là sự thay đổi nhiệt độ.
- $P$ là áp suất.
- $\Delta V$ là sự thay đổi thể tích.

Tuy nhiên, do nitrogen là khí thực, chúng ta cần phải xem xét áp suất và nhiệt độ trong quá trình giãn nở.

Do đó, để tính toán chính xác nhiệt cho quá trình này, cần phải có thêm thông tin về số mol, sự thay đổi nhiệt độ, và các giá trị của áp suất trong quá trình giãn nở. Nếu có các thông số đó, bạn có thể áp dụng vào công thức trên để tìm giá trị nhiệt lượng $Q$.

Hy vọng với phần giải thích này, bạn có thể hiểu rõ hơn về bài toán và có thêm thông tin để tiếp tục giải quyết.

« CÂU HỎI Hóa Học · Lớp $10$ $...$