« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $6$
$...$ Bài 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số dạng abccba chia hết cho 7, trong đó a,b,c là các chữ số thỏa,mãn $0

Question

« CÂU HỎI
Toán học · Lớp $6$
$...$ Bài 10. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số dạng abccba chia hết cho 7, trong đó a,b,c là các chữ số thỏa,mãn $0<a\leq9,0\leq b\leq9,0\leq c\leq9?$

Huycindy · Accepted Answer

Ta có: $\overline{abccba} = 100000a + 10000b + 1000c + 100c + 10b + a$
$= 100001a + 10010b + 1100c$
Vì $100001 = 14285 \cdot 7 + 6$, $10010 = 1430 \cdot 7$ và $1100 = 157 \cdot 7 + 1$ nên:
$\overline{abccba} = (14285 \cdot 7 + 6)a + (1430 \cdot 7)b + (157 \cdot 7 + 1)c$
$= 7 \cdot (14285a + 1430b + 157c) + 6a + c$
Để $\overline{abccba}$ chia hết cho $7$ thì $(6a + c)$ phải chia hết cho $7$.
Ta lại có: $6a + c = 7a + (c - a)$
Do $7a$ luôn chia hết cho $7$ nên để $(6a + c)$ chia hết cho $7$ thì $(c - a)$ phải chia hết cho $7$.
Vì $1 \le a \le 9$ và $0 \le c \le 9$ nên $-9 \le c - a \le 8$.
Do đó, $(c - a) \in \{-7; 0; 7\}$.
Trường hợp 1: $c - a = -7 \Leftrightarrow a - c = 7$
Các cặp $(a; c)$ thỏa mãn là: $(7; 0), (8; 1), (9; 2)$ (có 3 cặp).
Trường hợp 2: $c - a = 0 \Leftrightarrow a = c$
Các cặp $(a; c)$ thỏa mãn là: $(1; 1), (2; 2), (3; 3), (4; 4), (5; 5), (6; 6), (7; 7), (8; 8), (9; 9)$ (có 9 cặp).
Trường hợp 3: $c - a = 7$
Các cặp $(a; c)$ thỏa mãn là: $(1; 8), (2; 9)$ (có 2 cặp).
Tổng số cặp $(a; c)$ thỏa mãn là: $3 + 9 + 2 = 14$ (cặp).
Với mỗi cặp $(a; c)$, chữ số $b$ có 10 cách chọn từ tập hợp $\{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9\}$.
Số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu đề bài là: $14 \cdot 10 = 140$ (số).
Vậy có $140$ số tự nhiên thỏa mãn.

Timi · Answer

Để giải bài toán này, ta cần tìm các số tự nhiên có dạng $ abccba $ chia hết cho 7. Số có dạng $ abccba $ có thể được viết dưới dạng:

$$
N = 100000a + 10000b + 1000c + 100c + 10b + a = 100001a + 10010b + 1100c
$$

Để $ N $ chia hết cho 7, ta cần tính $ N \mod 7 $:

$$
100001 \mod 7 = 4 \
10010 \mod 7 = 3 \
1100 \mod 7 = 5
$$

Vì vậy, ta có:

$$
N \mod 7 = (4a + 3b + 5c) \mod 7
$$

Ta cần tìm số nguyên dương $ N $ thỏa mãn điều kiện $ 4a + 3b + 5c \equiv 0 \mod 7 $.

**Điều kiện cho các chữ số a, b, c:**
- $ a $ là chữ số hàng triệu nên $ 0 < a \leq 9 $ (tức là $ a $ có thể là từ 1 đến 9).
- $ b $ và $ c $ có thể nhận giá trị từ 0 đến 9.

**Giải thích từng trường hợp cho a, b, c:**
1. Với $ a $ từ 1 đến 9, ta sẽ thử từng giá trị của $ a $.
2. Với mỗi giá trị của $ a $, ta sẽ thử từng giá trị của $ b $ từ 0 đến 9.
3. Cuối cùng, với mỗi cặp $ (a, b) $, ta sẽ tìm các giá trị của $ c $ sao cho $ 4a + 3b + 5c \equiv 0 \mod 7 $.

**Tính toán cụ thể:**

Ta sẽ xét từng giá trị của $ a $ và $ b $ sau đó tìm giá trị của $ c $:

- Đối với mỗi cặp $ (a, b) $:
  - Tính $ K = (4a + 3b) \mod 7 $.
  - Tìm các giá trị của $ c $ sao cho $ 5c \equiv -K \mod 7 $.

Giá trị $ c $ có thể nhận các giá trị từ 0 đến 9, ta chỉ cần tìm các $ c $ thoả mãn điều kiện.

**Kết luận:**
Sau khi thử tất cả các giá trị của $ a $, $ b $, và xác định số lượng giá trị của $ c $ tương ứng với mỗi cặp $ (a, b) $, ta sẽ có tổng số lượng số tự nhiên có 6 chữ số dạng $ abccba $ chia hết cho 7.

Tóm lại, quá trình tính toán này sẽ cho ra tổng số nghiệm. Tuy nhiên, để có được con số chính xác thì bạn có thể tiến hành lập trình hoặc kiểm tra từng trường hợp cụ thể.

Kết quả cuối cùng sẽ cho biết số lượng các số $ abccba $ thỏa mãn điều kiện chia hết cho 7.

« CÂU HỎI Toán học · Lớp $6$ $...$