Đáp án $+$ Giải thích Bài 5. Theo kế hoạch, một phân xưởng phải làm xong 900 sản phẩm trong một số ngày quy định.,Thực tế, mỗi ngày phân xưởng đã làm được nhiều hơn 15 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm,một ngày theo kế hoạch. Vì thế 3 ngày trước khi hết thời hạn, phân xưởng đã làm xong 900 sản,phẩm. Hỏi, theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải làm bao nhiêu sản phẩm? (Giả định rẳng số,sản phẩm mà phân xưởng làm được trong mỗi ngày là bằng nhau).

Question

Vũ Thị Kim Chi · Accepted Answer

Gọi $x$ là số sản phẩm phân xưởng phải làm trong một ngày theo kế hoạch ($x > 0$, $x \in \mathbb{N}$).

Thời gian dự định hoàn thành 900 sản phẩm theo kế hoạch là $\frac{900}{x}$ (ngày).

Thực tế, mỗi ngày phân xưởng làm được số sản phẩm là $x + 15$ (sản phẩm).

Thời gian thực tế phân xưởng hoàn thành 900 sản phẩm là $\frac{900}{x + 15}$ (ngày).

Vì phân xưởng hoàn thành xong trước thời hạn 3 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{900}{x} - \frac{900}{x + 15} = 3$

$\frac{300}{x} - \frac{300}{x + 15} = 1$

$\frac{300(x + 15) - 300x}{x(x + 15)} = 1$

$\frac{4500}{x^2 + 15x} = 1$

$x^2 + 15x = 4500$

$x^2 + 15x - 4500 = 0$

$x^2 + 75x - 60x - 4500 = 0$

$x(x + 75) - 60(x + 75) = 0$

$(x - 60)(x + 75) = 0$

Trường hợp 1:

$x - 60 = 0$

$x = 60$ (thỏa mãn điều kiện)

Trường hợp 2:

$x + 75 = 0$

$x = -75$ (loại)

Timi · Answer

Giải bài toán này như sau:

Gọi số sản phẩm mà phân xưởng phải làm mỗi ngày theo kế hoạch là $x$.

Theo kế hoạch, thời gian phân xưởng làm việc là $n$ ngày, vì vậy tổng số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là:
$$ 
900 = n \cdot x 
$$
Từ đó ta có:
$$ 
x = \frac{900}{n} 
$$

Theo thực tế, mỗi ngày phân xưởng làm được nhiều hơn 15 sản phẩm, tức là số sản phẩm thực tế mỗi ngày là:
$$ 
x + 15 
$$

Vì phân xưởng đã hoàn thành 900 sản phẩm 3 ngày trước khi hết thời hạn, nên thời gian làm việc thực tế là:
$$ 
n - 3 
$$

Số sản phẩm hoàn thành theo thực tế là:
$$ 
900 = (n - 3) \cdot (x + 15) 
$$

Bây giờ chúng ta có hai phương trình:
1. $900 = n \cdot x$
2. $900 = (n - 3) \cdot (x + 15)$

Thay $x$ từ phương trình 1 vào phương trình 2:
$$
900 = (n - 3) \cdot \left(\frac{900}{n} + 15\right) 
$$
Mở rộng phương trình:
$$
900 = (n - 3) \cdot \left(\frac{900 + 15n}{n}\right) 
$$
Nhân hai vế với $n$:
$$
900n = (n - 3)(900 + 15n) 
$$

Giải phương trình này:
$$
900n = 900n - 2700 + 15n^2 - 45n 
$$
Rút gọn lại:
$$
0 = 15n^2 - 45n - 2700 
$$
Chia hai vế cho 15:
$$
0 = n^2 - 3n - 180 
$$

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2:
$$
n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180)}}{2 \cdot 1} 
$$
$$
= \frac{3 \pm \sqrt{9 + 720}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{729}}{2} = \frac{3 \pm 27}{2} 
$$

Tìm nghiệm:
1. $n = \frac{30}{2} = 15$
2. $n = \frac{-24}{2} = -12$ (bỏ qua vì không hợp lý)

Vậy $n = 15$.

Thay $n$ vào công thức tính $x$:
$$
x = \frac{900}{n} = \frac{900}{15} = 60 
$$

Do đó, mỗi ngày phân xưởng phải làm theo kế hoạch là:
$$
\boxed{60}
$$ sản phẩm.