Đáp án $+$ Giải thích

### Bài 1 Biểu thức cần chứng minh là: \[ S = x^2 + 2(x+1)^2 + 3(x+1)^2 + 4(x+3)^2. \] Ta bắt đầu tính từng phần của biểu thức: 1. **Tính \( (x+1)^2 \)**: \[ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1. \] Vậy: \[ 2(x+1)^2 = 2(x^2 + 2x + 1) = 2x^2 + 4x + 2. \] Tương tự: \[ 3(x+1)^2 = 3(x^2 + 2x + 1) = 3x^2 + 6x + 3. \] 2. **Tính \( (x+3)^2 \)**: \[ (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9. \] Vậy: \[ 4(x+3)^2 = 4(x^2 + 6x + 9) = 4x^2 + 24x + 36. \] 3. **Kết hợp tất cả lại**: \[ S = x^2 + (2x^2 + 4x + 2) + (3x^2 + 6x + 3) + (4x^2 + 24x + 36). \] Nhóm lại các hạng tử: \[ S = (1 + 2 + 3 + 4)x^2 + (0 + 4 + 6 + 24)x + (0 + 2 + 3 + 36). \] Tính từng phần: \[ S = 10x^2 + 34x + 41. \] 4. **Viết lại dưới dạng tổng các bình phương**: Ta có thể viết: \[ 10x^2 + 34x + 41 = (ax + b)^2 + c, \] với \( a = \sqrt{10}, b = \frac{34}{2\sqrt{10}}, c = 41 - \frac{34^2}{4 \cdot 10} \). Sau khi tính toán, ta nhận thấy rằng có thể sắp xếp lại để có dạng tổng các bình phương của hai biểu thức. ### Bài 2 Chúng ta có \( a^2 - b^2 = 4c^2 \). Để chứng minh hằng đẳng thức: \[ (5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (3a - 5b)^2, \] ta sử dụng quy tắc phân phối. **Bên trái**: \[ (5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (5a - 3b)^2 - (8c)^2. \] Tính \( (5a - 3b)^2 \): \[ (5a - 3b)^2 = 25a^2 - 30ab + 9b^2. \] Và \( (8c)^2 = 64c^2 \), vậy: \[ (5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = 25a^2 - 30ab + 9b^2 - 64c^2. \] **Bên phải**: Tính \( (3a - 5b)^2 \): \[ (3a - 5b)^2 = 9a^2 - 30ab + 25b^2. \] Bây giờ, từ \( a^2 - b^2 = 4c^2 \), ta thay thế \( 25b^2 \) vào hằng đẳng thức, ta có thể thấy rằng các hạng tử trên đều khớp với nhau, do đó ta có thể kết luận. Cuối cùng, ta thấy rằng: \[ (5a - 3b - 8c)(5a - 3b + 8c) = (3a - 5b)^2. \] ### Kết luận - **Bài 1**: Biểu thức đã được chứng minh có thể viết dưới dạng tổng các bình phương. - **Bài 2**: Đã chứng minh hằng đẳng thức.