« CÂU HỎI
Toán Học · Lớp $9$
Tính $a)~\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}$

Question

« CÂU HỎI 
Toán Học · Lớp $9$ 
Tính $a)~\sqrt{2+\sqrt3}-\sqrt{2-\sqrt3}$

Huycindy · Accepted Answer

$a)\ \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}}$
$= \dfrac{\sqrt{2} . \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2} . \sqrt{2-\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$
$= \dfrac{\sqrt{4+2\sqrt{3}} - \sqrt{4-2\sqrt{3}}}{\sqrt{2}}$
$= \dfrac{\sqrt{(\sqrt{3}+1)^2} - \sqrt{(\sqrt{3}-1)^2}}{\sqrt{2}}$
$= \dfrac{(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1)}{\sqrt{2}}$
$= \dfrac{\sqrt{3}+1 - \sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$
$= \dfrac{2}{\sqrt{2}}$
$= \sqrt{2}$

Timi · Answer

Để tính giá trị của biểu thức $ \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} $, chúng ta sẽ thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Đặt $ x = \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} $.

Bước 2: Bình phương cả hai vế để loại bỏ căn:

$$
x^2 = (\sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}})^2
$$

Bước 3: Mở rộng bình phương:

$$
x^2 = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) - 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}
$$

Bước 4: Tính giá trị của các thành phần:

$$
(2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4
$$
$$
(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = \sqrt{1} = 1
$$

Bước 5: Thay vào công thức:

$$
x^2 = 4 - 2\cdot1 = 4 - 2 = 2
$$

Bước 6: Tìm giá trị của $ x $:

$$
x = \sqrt{2}
$$

Vậy, giá trị của biểu thức $ \sqrt{2+\sqrt{3}} - \sqrt{2-\sqrt{3}} $ là:

$$
\sqrt{2}
$$

Đáp án là: $ \sqrt{2} $.

« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ Tính