« CÂU HỎI Toán Học · Lớp $9$ Tính

Để tính giá trị của biểu thức \( \sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}} - \sqrt{2} \), ta sẽ thực hiện từng bước như sau: Bước 1: Tính \( \sqrt{3+\sqrt{5}} \) và \( \sqrt{3-\sqrt{5}} \). Đầu tiên, ta sẽ xử lý \( \sqrt{3+\sqrt{5}} \) và \( \sqrt{3-\sqrt{5}} \). Ta có: \[ \sqrt{3+\sqrt{5}} = a \quad \text{và} \quad \sqrt{3-\sqrt{5}} = b \] Tính \( a^2 \) và \( b^2 \): \[ a^2 = 3 + \sqrt{5}, \quad b^2 = 3 - \sqrt{5} \] Bước 2: Tính \( a^2 - b^2 \): \[ a^2 - b^2 = (3 + \sqrt{5}) - (3 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5} \] Bước 3: Tính \( a + b \): \[ a + b = \sqrt{3+\sqrt{5}} + \sqrt{3-\sqrt{5}} \] Áp dụng công thức \( a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab \): \[ a^2 + b^2 = (3+\sqrt{5}) + (3-\sqrt{5}) = 6 \] Bây giờ ta cần tính \( ab \): \[ ab = \sqrt{(3+\sqrt{5})(3-\sqrt{5})} = \sqrt{9 - 5} = \sqrt{4} = 2 \] Từ đây ta có: \[ a^2 + b^2 = 6 \] \[ ab = 2 \] Áp dụng công thức: \[ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = 6 + 4 = 10 \] \[ a+b = \sqrt{10} \] Bước 4: Tính giá trị biểu thức: Ta cần tính: \[ \sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}} - \sqrt{2} = a - b - \sqrt{2} \] Tính \( a - b \): \[ a - b = \sqrt{3+\sqrt{5}} - \sqrt{3-\sqrt{5}} \] Áp dụng \( a - b = \frac{(a+b)(a-b)}{a+b} \): Tính \( a-b = \frac{(a^2 - b^2)}{a+b} \): \[ a - b = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{10}} = \sqrt{2} \] Bây giờ, ta có: \[ a - b - \sqrt{2} = \sqrt{2} - \sqrt{2} = 0 \] Vậy kết quả cuối cùng là: \[ \boxed{0} \]