Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán học lớp 11 - Quảng Bình năm 2022-2023 - Đề 1

Trích dẫn Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán học lớp 11 - Quảng Bình năm 2022-2023 - Đề 1

Câu 1 (2,0 điểm).a. Giải phương trình   2\sin^{2}(x-\frac{\pi}{4})=2\sin^{2}x-\tan x.b. Chứng minh rằng phương trình   m^{2}x^{2022}+2x^{2}-x-m^{2}=0   luôn có ít nhất hai nghiệmphân biệt Với mọi tham số m.Câu 2 (2,0 điểm).a. Cho   n   là số nguyên dương thỏa mãn   1.C_{n}^{1}+2.C_{n}^{2}+\dots+n.C_{n}^{n}=16n.   Tìm hệ số của sốhạng chứa   x^{7}   trong khai triển của nhị thức   \left(x^{2}-\frac{2}{x}\right)^{2n+1},x\neq0.b.Cho cấp số cộng   (u_{n})   có các số hạng đều là số nguyên và công sai d là một sốdương. Biết rằng   u_{20}=m>0   và   u_{n}=17.   Tính   u_{2022}.Câu 3 (2,0 điểm).a. Tính giới hạn   \lim_{x\rightarrow0}\frac{\sqrt{1+2x}-\sqrt[3]{1+3x}}{x^{2}}.b. Cho dãy số   (u_{n})   xác định bởi:   u_{1}=9   và   (n+3)u_{n+1}-(n+5)u_{n}=22   với mọi   n\geq1.Tính giới hạn   l i m\frac{2021~u_{n}}{25+4n+2022n^{2}}.