Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán học lớp 11 - Quảng Bình năm 2022-2023 - Đề 2

Trích dẫn Đề thi chọn HSG cấp thành phố môn Toán học lớp 11 - Quảng Bình năm 2022-2023 - Đề 2

Câu 1 (3,0 điểm).a. Cho x, y,z là cá số thực dương thỏa mãn điều kiện xyy==1   x y z=1.   Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức   P=\frac{2}{x^{3}(y+z)}+\frac{2}{y^{3}(z+x)}+\frac{2}{z^{3}(x+y)}.b. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương   (a,b),b>1   để hai số   \frac{a^{3}b-1}{a+1}   và   \frac{b^{3}a+1}{b-1}   đều làsố nguyên dương.Câu 2 (2,0 điểm).Cho dãy số   (u_{n})   xác định bởi:u_{1}=\frac{5}{2}   và   u_{n+1}=\sqrt{u_{n}^{3}-12u_{n}-2002+\frac{2022n+2023}{n+1}}   với mọi   n\geq1.a. Chứng minh rằng   u_{n}>2,\forall n\in\square^{*}.b. Chứng minh rằng dãy số   (u_{n})   có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.